На продолжении наибольшей стороны $AC$ треугольника $ABC$ отложен отрезок $CD=BC$. Докажите, что угол $ABD$ тупой.
Подробнее
$MA$ и $MB$ - касательные к окружности $\Omega$ с центром $O$; $C$ - точка внутри окружности, лежащая на дуге $AB$ окружности с центром в точке $M$ радиуса $MA$. Докажите, что отличные от $A$ и $B$ точки пересечения прямых $AC$ и $BC$ с окружностью $\Omega$ лежат на противоположных концах одного диаметра.
Подробнее
Диагонали четырёхугольника равны по $a$, а сумма его средних линий равна $b$ (средние линии соединяют середины противоположных сторон). Вычислите площадь четырёхугольника.
Подробнее
Постройте прямоугольный треугольник по радиусу вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, и радиусу вписанной окружности.
Подробнее
Дан квадрат $ABCD$. На продолжении диагонали $AC$ за точку $C$ отмечена такая точка $K$, что $BK=AC$. Найдите угол $BKC$.
Подробнее
Точка $M$ - середина стороны $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, в котором $AB+CD=AD$. Известно, что $\angle AMD=90^{\circ}$. Докажите, что $AB\parallel CD$.
Подробнее
На вписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $AC$ в точке $S$, нашлась такая точка $Q$, что середины отрезков $AQ$ и $QC$ также лежат на вписанной окружности. Докажите, что $QS$ - биссектриса угла $AQC$.
Подробнее
Точка $O$ - центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Описанная окружность треугольника $AOC$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Оказалось, что прямая $EF$ делит площадь треугольника $ABC$ пополам. Найдите угол $B$.
Подробнее
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $BD=CD$ и $\angle BDC=120^{\circ}$. Вне треугольника $ABC$ взята такая точка $E$, что $AE=CE$ и $\angle AEC=60^{\circ}$ и точки $B$ и $E$ находятся в разных полуплоскостях относительно $AC$. Докажите, что $\angle AED=90^{\circ}$, где $F$ - середина $BE$.
Подробнее
Дан треугольник $XBC$. Различные точки $A_{H}$, $A_{I}$, $A_{M}$ таковы, что $X$ является ортоцентром треугольника $A_{H}BC$, центром вписанной окружности треугольника $A_{I}BC$ и точкой пересечения медиан треугольника $A_{M}BC$. Докажите, что если $A_{H}A_{M}$ и $BC$ параллельны, то $A_{I}$ - середина $A_{H}A_{M}$.
Подробнее
Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Через вершину $C$ проведена касательная к этой окружности, пересекающая прямую $BA$ в точке $D$, причём точка $B$ лежит между $A$ и $D$; $AB=7{,}5$, $CD=15\sqrt{\frac{3}{2}}$.
а) Докажите, что $BD=2AB$.
б) Из вершин $A$ и $B$ на касательную $CD$ опущены перпендикуляры, меньший из которых равен 9. Найдите площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной $AB$ и отрезком касательной.
Подробнее
Точка $K$ - середина гипотенузы $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$. Точки $L$ и $M$ выбраны на катетах $BC$ и $AC$ соответственно так, что $BL=CM$. Докажите, что треугольник $LMK$ - также прямоугольный равнобедренный.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполнены соотношения $AB=BD$, $\angle ABD=\angle DBC$. На диагонали $BD$ нашлась такая точка $K$, что $BK=BC$. Докажите, что $\angle KAD=\angle KCD$.
Подробнее
На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $AB=AK$. Отрезок $AK$ пересекает биссектрису $CL$ в её середине. Найдите острые углы треугольника $ABC$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AD=AB+CD$. Оказалось, что биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $BC$. Докажите, что биссектриса угла $D$ также проходит через середину $BC$.
Подробнее