Точки $M$ и $N$ расположены на сторонах $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$, причём $AM:MB=1:2$, $AN:ND=3:2.$ Отрезки $DM$ и $CN$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношения $DK:KM$ и $CK:KN$.
Подробнее
$AA_{1}$ - медиана треугольника $ABC$. Точка $C_{1}$ лежит на стороне $AB$, причём $AC_{1}:C_{1}B=1:2$. Отрезки $AA_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в точке $M$. Найдите отношения $AM:MA_{1}$ и $CM:MC_{1}$.
Подробнее
Точки $A_{1}$ и $C_{1}$ расположены на сторонах $BC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Отрезки $AA_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в точке $M$. В каком отношении прямая $BM$ делит сторону $AC$, если $AC_{1}:C_{1}B=2:3$ и $BA_{1}:A_{1}C=1:2$?
Подробнее
На медиане $AA_{1}$ треугольника $ABC$ взята точка $M$, причём $AM:MA_{1}=1:3$. В каком отношении прямая $BM$ делит сторону $AC$?
Подробнее
Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается её диагоналями на три части. Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
Подробнее
На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причём $MN\parallel BC$. На отрезке $MN$ взята точка $P$, причём $MP=\frac{1}{3}MN$. Прямая $AP$ пересекает сторону $BC$ в точке $Q$. Докажите, что $BQ=\frac{1}{3}BC$.
Подробнее
С помощью циркуля и линейки проведите прямую, параллельную основаниям трапеции, так, чтобы отрезок этой прямой внутри трапеции делился бы диагоналями на три равные части.
Подробнее
Даны две параллельные прямые $l$ и $l_{1}$. С помощью одной линейки разделите пополам данный отрезок $AB$ прямой $l$.
Подробнее
Даны две параллельные прямые $l$ и $l_{1}$. С помощью одной линейки проведите через данную точку $M$ прямую, параллельную прямым $l$ и $l_{1}$.
Подробнее
Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ разделена на $n$ равных частей. Первая точка деления $P$ соединена с вершиной $B$. Докажите, что прямая $BP$ отсекает на диагонали $AC$ часть $AQ$, которая равна $\frac{1}{n+1}$ всей диагонали.
Подробнее
Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $AO\cdot BO=CO\cdot DO$ тогда и только тогда, когда $BC\parallel AD$.
Подробнее
Точки $M$ и $K$ лежат на сторонах соответственно $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $P$. Известно, что каждый из отрезков $AK$ и $CM$ делится точкой $P$ в отношении $2:1$, считая от вершины. Докажите, что $AK$ и $CM$ - медианы треугольника.
Подробнее
На стороны $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ (или на их продолжения) опущены перпендикуляры $AM$ и $AN$. Докажите, что треугольник $MAN$ подобен треугольнику $ABC$.
Подробнее
Через произвольную точку $P$ стороны $AC$ треугольника $ABC$ параллельно его медианам $AK$ и $CL$ проведены прямые, пересекающие стороны $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что медианы $AK$ и $CL$ делят отрезок $EF$ на три равные части.
Подробнее
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Подробнее