В четырёхугольнике $ABCD$ точка $E$ - середина $AB$, $F$ - середина $CD$. Докажите, что середины отрезков $AF$, $CE$, $BF$ и $DE$ являются вершинами параллелограмма.
Подробнее
В треугольник вписан ромб со стороной $m$ так, что одни угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки, равные $p$ и $q$. Найдите стороны треугольника.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB=BC)$ на стороне $BC$ взята точка $D$ так, что $BD:DC=1:4$. В каком отношении прямая $AD$ делит высоту $BE$ треугольника $ABC$, считая от вершины $B$?
Подробнее
В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении $2:3$. Диагонали ромба равны $m$ и $n$. Найдите стороны треугольника, содержащие стороны ромба.
Подробнее
Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковой стороной 18. Отрезки какой длины нужно отложить от вершины треугольника на его боковых сторонах, чтобы соединив их концы, получить трапецию с периметром, равным 40?
Подробнее
В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке (
точка Жергона).
Подробнее
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины $B$ прямого угла опущена высота $BD$ на гипотенузу $AC$. Известно, что $AB=13$, $BD=12$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Подробнее
Внутри прямого угла дана точка $M$, расстояния которой от сторон угла равны 4 и 8. Прямая, проходящая через точку $M$, отсекает от прямого угла треугольник с площадью 100. Найдите катеты треугольника.
Подробнее
В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
Подробнее
В треугольнике $ABC$, все стороны которого различны, биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Известно, что $AB-BD=a$, $AC+CD=b$. Найдите $AD$.
Подробнее
Треугольник $ABC$ не имеет тупых углов. На стороне $AC$ этого треугольника взята точка $D$ так, что $AD=\frac{3}{4}AC$. Найдите угол $BAC$, если известно, что прямая $BD$ разбивает треугольник $ABC$ на два подобных треугольника.
Подробнее
Основание равнобедренного треугольника равно 12, а боковая сторона равна 18. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Найдите отрезок, концы которого совпадают с основаниями высот.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на основании $AC$ взяты точки $P$ и $Q$ так, что $AP\lt AQ$. Прямые $BP$ и $BQ$ делят медиану $AM$ на три равные части. Известно, что $PQ=3$. Найдите $AC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ лежат на стороне $AC$, а прямые $BP$ и $BQ$ делят медиану $AM$ на три равные части. Известно, что $BP=BQ$, $AB=9$, $BC=11$. Найдите $AC$.
Подробнее
В равнобедренной трапеции $ABCD$ $(AD\parallel BC)$ расстояние от вершины $A$ до прямой $CD$ равно боковой стороне. Найдите углы трапеции, если $AD:BC=5$.
Подробнее