Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2718
2019-04-29 
На конгресс приехало большое число ученых; одни из них были раньше знакомы друг с другом, другие - нет. При этом оказалось, что никакие два ученых, имеющих одно и то же число знакомых, не имеют общих знакомых. Доказать, что среди присутствующих на конгрессе ученых найдется ученый, знакомый ровно с одним участником конгресса.
Решение:
Рассмотрим ученого $А$, имеющего среди присутствующих наибольшее число $n$ знакомых (или одного из таких ученых, если их несколько); при этом $n > 0$, поскольку мы предположили, что некоторые из участников конгресса знакомы друг с другом. Все знакомые $А$ имеют разное число знакомых (ибо любые два из них имеют общего знакомого $А$); при этом ни один из них не имеет больше чем $A$ знакомых. Поэтому один из знакомых $А$ (некто $В$) обязательно имеет одного знакомого, второй - двух, третий - трех, ..., наконец, последний ($n$-й) знакомый $А$, так же как и $А$, имеет $n$ знакомых. Существование лица $В$ и доказывает утверждение задачи.
На конгресс приехало большое число ученых; одни из них были раньше знакомы друг с другом, другие - нет. При этом оказалось, что никакие два ученых, имеющих одно и то же число знакомых, не имеют общих знакомых. Доказать, что среди присутствующих на конгрессе ученых найдется ученый, знакомый ровно с одним участником конгресса.
Решение:
Рассмотрим ученого $А$, имеющего среди присутствующих наибольшее число $n$ знакомых (или одного из таких ученых, если их несколько); при этом $n > 0$, поскольку мы предположили, что некоторые из участников конгресса знакомы друг с другом. Все знакомые $А$ имеют разное число знакомых (ибо любые два из них имеют общего знакомого $А$); при этом ни один из них не имеет больше чем $A$ знакомых. Поэтому один из знакомых $А$ (некто $В$) обязательно имеет одного знакомого, второй - двух, третий - трех, ..., наконец, последний ($n$-й) знакомый $А$, так же как и $А$, имеет $n$ знакомых. Существование лица $В$ и доказывает утверждение задачи.
