Даны точки $A(5;-1)$, $B(4;-8)$, $C(-4;-4)$. Найдите координаты точки пересечения высот треугольника $ABC$.
Подробнее
Даны точки $A$, $B$ и положительное число $d$. Найдите геометрическое место точек $M$, для которых $AM^{2}+BM^{2}=d$.
Подробнее
Докажите, что расстояние от точки $M(x_{0};y_{0})$ до прямой, заданной уравнением $ax+by+c=0$, равно
$\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$
Подробнее
Найдите расстояние между параллельными прямыми $y=-3x+5$ и $y=-3x-4$.
Подробнее
Составьте уравнение окружности с центром в точке $M(3;2)$, касающейся прямой $y=2x+6$.
Подробнее
Точка $M$ лежит на прямой $3x-4y+34=0$, а точка $N$ - на окружности $x^{2}+y^{2}-8x+2y-8=0$. Найдите наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$.
Подробнее
Теорема косинусов. Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними,т.е.
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma,$
где $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, $\gamma$ - угол, противолежащий стороне, равной $c$.
Подробнее
Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его соседних сторон на синус угла между ними, т.е.
$S_{\Delta}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,$
где $a$ и $b$ - стороны треугольника, $\gamma$ - угол, противолежащий третьей стороне.
Подробнее
Докажите, что площадь параллелограмма произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, т.е.
$S=ab\sin\gamma,$
где $a$ и $b$ - соседние стороны параллелограмма, $\gamma$ - угол между ними.
Подробнее
Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его высот, делённого на синус угла между сторонами, на которые эти высоты опущены, т.е.
$S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot\frac{h_{a}h_{b}}{\sin\gamma},$
где $h_{a}$ и $h_{b}$ - высоты, опущенные на стороны, равные $a$ и $b$, а $\gamma$ угол между этими сторонами.
Подробнее
Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его высот, делённому на синус угла между ними, т.е.
$S=\frac{h_{a}h_{b}}{\sin\gamma},$
где $h_{a}$ и $h_{b}$ - высоты, опущенные на соседние стороны, равные $a$ и $b$, а $\gamma$ угол между этими сторонами.
Подробнее
Докажите, что площадь треугольника равна удвоенному квадрату радиуса окружности, описанной около треугольника, умноженному на произведение синусов углов треугольника, т.е.
$S_{\Delta}=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,$
где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - углы треугольника, а $R$ - радиус его описанной окружности.
Подробнее
Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.
$S_{\Delta}=\frac{abc}{4R},$
где $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, $R$ - радиус его описанной окружности.
Подробнее
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $E$. Известно, что периметр треугольника $ABC$ равен 25 см, периметр треугольника $ABE$ равен 15 см, а периметр треугольника $BCE$ - 17 см. Найдите длину отрезка $BE$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в точке $H$, лежащей внутри треугольника. Известно, что $H$ - середина $AA_{1}$, а $CH:HC_{1}=2:1$. Найдите величину угла $B$.
Подробнее