Через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ проходит прямая, пересекающая стороны $AB$ и $AC$. Расстояния от вершин $B$ и $C$ до этой прямой равны $a$ и $b$ соответственно. Найдите расстояние от вершины $A$ до этой прямой.
Подробнее
Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, угол между диагоналями равен $60^{\circ}$. Найдите периметр трапеции.
Подробнее
Докажите, что сумма расстояний от любой точки до всех вершин выпуклого четырёхугольника площади 1, не может быть меньше $2\sqrt{2}$.
Подробнее
Докажите, что для произвольного треугольника справедливо неравенство $R\cdot P\geq4S$, где $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника, $P$ и $S$ - периметр и площадь треугольника.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB\leq2$, $BC\leq3$, $AC\leq4$. Какое наибольшее значение может принимать наибольшая высота такого треугольника?
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом, две противоположные стороны равны. Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.
Подробнее
Неравенство треугольника. Докажите, что сумма двух любых сторон треугольника больше третьей.
Подробнее
Докажите, что в прямоугольном треугольнике каждый катет меньше гипотенузы.
Подробнее
Внутри квадрата $ABCD$ лежит квадрат $PQRS$. Отрезки $AP$, $BQ$, $CR$ и $DS$ не пересекают друг друга и стороны квадрата $PQRS$. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников $ABQP$ и $CDSR$ равна сумме площадей четырёхугольников $BCRQ$ и $DAPS$.
Подробнее
Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по $45^{\circ}$. Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.
Подробнее
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников. Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
Подробнее
Из точки $O$, лежащей внутри выпуклого $n$-угольника $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$, проведены отрезки ко всем вершинам: $OA_{1}$, $OA_{2}$, …, $OA_{n}$. Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами $n$-угольника - острые, причём
$\angle OA_{1}A_{n}\leq\angle OA_{1}A_{2},~\angle OA_{2}A_{1}\leq\angle OA_{2}A_{3},~\dots,~\angle OA_{n-1}A_{n-2}\leq\angle OA_{n-1}A_{n},$
$\angle OA_{n}A_{n-1}\leq\angle OA_{n}A_{1}.$
Докажите, что $O$ - центр окружности, вписанной в $n$-угольник.
Подробнее
Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Точка $A_{1}$ диаметрально противоположна точке $A$, точка $A_{0}$ - середина стороны $BC$, точка $A_{2}$ симметрична точке $A_{1}$ относительно точки $A_{0}$. Точки $B_{2}$ и $C_{2}$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_{2}$, $B_{2}$ и $C_{2}$ совпадают.
Подробнее
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. В точке $A$ к обеим окружностям проведены касательные, пересекающиеся окружности в точках $M$ и $N$. Прямые $BM$ и $BN$ пересекают окружности ещё раз в точках $P$ и $Q$ ($P$ - на прямой $BM$, $Q$ - на прямой $BN$). Докажите, что отрезки $MP$ и $NQ$ равны.
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. В треугольники $ABD$ и $ACD$ вписаны окружности. К ним проведена общая касательная (отличная от $BC$), пересекающая $AD$ в точке $K$. Докажите, что длина отрезка $AK$ не зависит от выбора точки $D$.
Подробнее