Точка $M$ лежит внутри окружности радиуса $R$ и удалена от центра на расстояние $d$. Докажите, что для любой хорды $AB$ этой окружности, проходящей через точку $M$, произведение $AM\cdot BM$ одно и то же. Чему оно равно?
Подробнее
Точка $M$ лежит вне окружности радиуса $R$ и удалена от центра на расстояние $d$. Докажите, что для любой прямой, проходящей через точку $M$ и пересекающей окружность в точках $A$ и $B$, произведение $MA\cdot MB$ одно и то же. Чему оно равно?
Подробнее
Дано $n$ палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение $n$?
Подробнее
Пересекающиеся хорды окружности делятся точкой пересечения в одном и том же отношении. Докажите, что эти хорды равны между собой.
Подробнее
Каждая из двух равных пересекающихся хорд окружности делится точкой пересечения на два отрезка. Докажите, что отрезки первой хорды соответственно равны отрезкам второй.
Подробнее
Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ равна 9, катет $BC$ равен 3. На гипотенузе взята точка $M$, причём $AM:MB=1:2$. Найдите $CM$.
Подробнее
Точка $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Известно, что $BC=a$, $AC=b$, $\angle AOB=120^{\circ}$. Найдите сторону $AB$.
Подробнее
Дан равносторонний треугольник со стороной $a$. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении $2:1$.
Подробнее
Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен $60^{\circ}$. Докажите, что треугольник - прямоугольный.
Подробнее
Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.
Подробнее
Угол при вершине $D$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ равен $60^{\circ}$. Найдите диагонали трапеции, если $AD=10$, $BC=3$ и $CD=4$.
Подробнее
Одна из сторон треугольника равна 6, вторая сторона равна $2\sqrt{7}$, а противолежащий ей угол равен $60^{\circ}$. Найдите третью сторону треугольника.
Подробнее
На продолжении боковой стороны $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $A$ взята точка $D$, причём $AD=2AB$. Известно, что $\angle BAC=120^{\circ}$. Докажите, что треугольник $BDC$ - равнобедренный.
Подробнее
Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах соответственно $AD$ и $BC$ ромба $ABCD$, причём $DM:AM=BN:NC=2:1$. Найдите $MN$, если известно, что сторона ромба равна $a$, а $\angle BAD=60^{\circ}$.
Подробнее
Диагональ параллелограмма, равная $b$, перпендикулярна стороне параллелограмма, равной $a$. Найдите вторую диагональ параллелограмма.
Подробнее