Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Подробнее
Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два подобных треугольника.
Подробнее
С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на $n$ равных частей.
Подробнее
В прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите сторону квадрата.
Подробнее
Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, площадь которого равна 28, пересекаются в точке $O$. Через середины отрезков $BO$ и $DO$ проведены прямые, параллельные диагонали $AC$. Найдите площадь части четырёхугольника, заключённой между этими прямыми.
Подробнее
Докажите, что медиана $AM$ треугольника $ABC$ делит пополам любой отрезок с концами на $AB$ и $AC$, параллельный стороне $BC$.
Подробнее
Построение четвёртого пропорционального. Даны отрезки $a$, $b$ и $c$. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок $x$, для которого $x:a=b:c$.
Подробнее
Даны отрезки $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, равный $\frac{abc}{de}$.
Подробнее
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны 12 и 18 и пересекаются в точке $O$. Найдите стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения медиан треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $AOD$.
Подробнее
Медианы $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $AM\perp B_{1}C_{1}$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
Подробнее
Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, равна половине стороны $AB$. Докажите, что треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Подробнее
Окружность радиуса $R$, построенная на большем основании $AD$ трапеции $ABCD$ как на диаметре, касается меньшего основания $BC$ в точке $C$, а боковой стороны $AB$ - в точке $A$. Найдите диагонали трапеции.
Подробнее
Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины меньшего основания, делит большее основание в отношении $1:3$. Найдите отношение оснований трапеции.
Подробнее
Боковая сторона, меньшее основание и диагональ равнобедренной трапеции равны соответственно 10, 6 и 14. Найдите большее основание.
Подробнее
Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $BC\parallel AD$. Точки $K$ и $M$ - середины сторон $CD$ и $AD$ соответственно. Известно, что отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются на диагонали $BD$. Докажите, что $ABCD$ - параллелограмм.
Подробнее