Одна из двух прямых, проходящих через точку $M$, касается окружности в точке $C$, а вторая пересекает эту окружность в точках $A$ и $B$, причём $A$ - середина отрезка $BM$. Известно, что $MC=2$ и $\angle BMC=45^{\circ}$. Найдите радиус окружности.
Подробнее
Прямые, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $M$, а прямые, касающиеся той же окружности в точках $C$ и $D$, пересекаются в точке $N$, причём $NC\perp MA$ и $ND\perp MB$. Докажите, что $AB\perp CD$ или $AB\parallel CD$.
Подробнее
Окружность касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $M$, стороны $AC$ - в точке $N$, а сторону $AB$ пересекает в точках $K$ и $L$, причём $KLMN$ - квадрат. Найдите углы треугольника $ABC$.
Подробнее
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, причём $CH=C_{1}H$ и $BH=2B_{1}H$. Найдите угол $BAC$.
Подробнее
Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен $120^{\circ}$. Окружность с центром на третьей стороне треугольника касается двух других сторон. Вторая окружность касается этих сторон и первой окружности. Найдите радиусы окружностей.
Подробнее
Дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Прямая, параллельная стороне, равной $a$, касается вписанной окружности треугольника и пересекает две другие стороны в точках $M$ и $N$. Найдите $MN$.
Подробнее
$AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ - высоты треугольника $ABC$. Докажите, что $AB^{2}_{1}+BC^{2}_{1}+CA^{2}_{1}=AC^{2}_{1}+BA^{2}_{1}+CB^{2}_{1}$.
Подробнее
Биссектрисы $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO\perp B_{1}C_{1}$. Докажите, что треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Подробнее
Теорема о произведениях отрезков пересекающихся хорд. Докажите, что произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны между собой.
Подробнее
Точка $M$ внутри окружности делит хорду этой окружности на отрезки, равные $a$ и $b$. Через точку $M$ проведена хорда $AB$, делящаяся точкой $M$ пополам. Найдите $AB$.
Подробнее
Из точки, расположенной вне окружности на расстоянии $\sqrt{7}$ от центра, проведена секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности.
Подробнее
Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$, причём $AM=AC$. Докажите, что продолжения высот $AA_{1}$ и $DD_{1}$ треугольников $CAM$ и $BDM$ пересекаются на окружности.
Подробнее
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $AB=CD=12$, $\angle APC=60^{\circ}$ и $AC=2BD$. Найдите стороны треугольника $BPD$.
Подробнее
Через точку $M$ проведены две прямые. Одна из них касается некоторой окружности в точке $A$, а вторая пересекает эту окружность в точках $B$ и $C$, причём $BC=7$ и $BM=9$. Найдите $AM$.
Подробнее
Радиусы двух концентрических окружностей относятся как $1:2$. Хорда большей окружности делится меньшей окружностью на три равные части. Найдите отношение этой хорды к диаметру большей окружности.
Подробнее