На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$. Две другие окружности лежат внутри данной, касаются её в точках $A$ и $B$, а также касаются друг друга в точке $M$. Найдите геометрическое место точек $M$.
Подробнее
Во вписанном четырёхугольнике две противоположные стороны равны $a$ и $b$, острый угол между диагоналями равен $\varphi$. Найдите все возможные значения радиуса окружности, описанной около четырёхугольника.
Подробнее
Одна окружность проходит через вершины $A$ и $C$ прямоугольника $ABCD$, а другая - через вершины $B$ и $D$. Докажите, что их общая хорда проходит через центр прямоугольника.
Подробнее
В окружность вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. На большем катете $BC$ взята точка $D$ так, что $AC=BD$. Найдите угол $DEC$, где $E$ - середина дуги $AB$, содержащей точку $C$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ точки $K$, $M$, $N$ и $P$ - середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ соответственно. Отрезки $AM$ и $CK$ пересекаются в точке $E$, а отрезки $AN$ и $CP$ - в точке $F$. Найдите площадь четырёхугольника $AECF$, если площадь четырёхугольника $ABCD$ равна 12.
Подробнее
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $A$ - прямой, $E$ - точка пересечения диагоналей, $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на сторону $AB$. Найдите $\angle CFE$, если $\angle DFE=\alpha$.
Подробнее
На отрезке $AB$ как на диаметре построена полуокружность. На этой полуокружности выбраны произвольным образом точки $P$ и $Q$. Точка $C$ - пересечение прямых $AP$ и $BQ$, а точка $X$ - пересечение касательных к полуокружности в точках $P$ и $Q$. Докажите, что прямые $CX$ и $PQ$ перпендикулярны.
Подробнее
В остроугольном треугольника $ABC$ проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$. На высоте $AA_{1}$ выбрана такая точка $D$, что $A_{1}D=C_{1}D$. Докажите, что точки $A$, $C_{1}$, $D$ и $E$ лежат на одной окружности.
Подробнее
Диагонали равнобокой трапеции $ABCD$ с боковой стороной $AB$ пересекаются в точке $P$. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника $ABP$?
Подробнее
Точка $I$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $D$ - середина стороны $AB$. Найдите $\frac{AB+BC}{AC}$, если известно, что угол $AID$ прямой.
Подробнее
Точка $E$ лежит на диагонали $AC$ трапеции $ABCD$. Найдите отношение её оснований $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $ADE$ в два раза больше площади треугольника $ABE$.
Подробнее
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ вдвое больше стороны $AB$. На стороне $BC$ выбрана такая $K$, что $\angle ADB=\angle KDB$. В каком отношении точка $K$ делит сторону $BC$?
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$, точки $P$ и $Q$ - середины двух других высот, $H$ - ортоцентр (точка пересечения высот), $E$ - середина стороны $BC$. Докажите, что точки $D$, $H$, $P$, $Q$ и $E$ лежат на одной окружности.
Подробнее
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно так, что $BC_{1}=CA_{1}=A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}$ Докажите, что точка пересечения высот треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$ лежит на биссектрисе угла $A$.
Подробнее
Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A'$, $B'$ и $C'$ соответственно. Точка $K$ - проекция точки $C'$ на прямую $A'B'$. Докажите, что $KC'$ - биссектриса угла $AKB$.
Подробнее
