На гипотенузе $KL$ равнобедренного прямоугольного треугольника $KLM$ вне треугольника построен квадрат $KLPQ$. Прямая $MP$ пересекает гипотенузу $KL$ в точке $N$.
а) Докажите, что $KN:NL=2:1$.
б) Прямая, проходящая через точку $N$ перпендикулярно $MP$, пересекает отрезок $KQ$ в точке $R$. Найдите $KR$, если $KQ=1$.
Подробнее
К окружности, вписанной в квадрат $ABCD$, проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.
б) Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:3$?
Подробнее
$ABCD$ - вписанный четырёхугольник, $AB\gt CD$, $BC\gt AD$. На сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $X$ и $Y$ так, что $AX=CD$ и $AD=CY$; $M$ - середина $XY$. Докажите, что угол $AMC$ - прямой.
Подробнее
Внутри параллелограмма $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $CD=CE$. Докажите, что прямая $DE$ перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков $AE$ и $BC$.
Подробнее
Точки $O$ и $I$ - центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника $ABC$. Две равные окружности касаются сторон $AB$, $BC$ и $AC$, $BC$ соответственно; кроме этого они касаются друг друга в точке $K$. Оказалось, что точка $K$ лежит на прямой $OI$. Найдите $\angle BAC$.
Подробнее
Отрезок с концами на сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ делится медианой $CM$ пополам. Докажите, что этот отрезок параллелен стороне $AB$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$. Проведены высота $AH$ и медиана $CM$. Обозначим их точку пересечения через $P$. Высота, проведённая из вершины $B$ треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки $H$ на прямую $CM$, в точке $Q$. Докажите, что прямые $CQ$ и $BP$ перпендикулярны.
Подробнее
На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяли произвольную точку $X$, а на боковых сторонах - точки $P$ и $Q$ так, что $XPBQ$ - параллелограмм. Докажите, что точка $Y$, симметричная точке $X$ относительно $PQ$, лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.
Подробнее
В параллелограмме $ABCD$ из вершины тупого угла $B$ на стороны параллелограмма опущены высоты $BM$ и $BN$, а из вершины $D$ - высоты $DP$ и $DQ$. Докажите, что точки $M$, $N$, $P$, $Q$ являются вершинами прямоугольника.
Подробнее
Сторона $MN$ прямоугольника $KLMN$ касается некоторой окружности в точке $A$. Продолжение стороны $KN$ последовательно пересекает окружность в точках $B$ и $C$, прямая $LM$ касается окружности, а точка $C$ лежит на прямой $AL$.
а) Докажите, что треугольники $ABN$ и $LAM$ подобны.
б) Известно, что $AM=13$ и $KL=25$. Найдите сторону $KN$.
Подробнее
Дана окружность радиуса 5. Точка $K$ делит диаметр $AD$ в отношении $1:4$, считая от точки $D$. Через точку $K$ проведена хорда $BC$ перпендикулярно диаметру $AD$. На меньшей дуге $AB$ окружности взята точка $M$.
а) Докажите, что $BM\cdot CM\lt AB^{2}$.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ACBM$, если дополнительно известно, что площадь треугольника $BCM$ равна 24.
Подробнее
Внутри треугольника $ABC$ расположена точка $O$. Лучи $AO$, $BO$ и $CO$ пересекают стороны $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A'$, $B'$ и $C'$ соответственно. Для какой точки $O$ произведение $AB'\cdot BC'\cdot CA'$ максимально?
Подробнее
Найдите центр тяжести проволочного треугольника (центр тяжести периметра треугольника).
Подробнее
Формула Чезаро. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в основаниях биссектрис данного треугольника равна произведению этих биссектрис, делённому на удвоенный периметр данного треугольника, т.е. $S_{1}=\frac{l_{a}l_{b}l_{c}}{4p}$, где $l_{a}$, $l_{b}$, $l_{c}$ - длины биссектрис треугольника, проведённых к сторонам, равным $a$, $b$, $c$ соответственно, а $p=\frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр треугольника.
Подробнее
Прямые, проходящие через вершины $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, проходят через одну точку и пересекают противоположные стороны в точках $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - середины сторон соответственно $BC$, $AC$, $AB$, а $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ - середины отрезков соответственно $AA'$, $BB'$, $CC'$. Докажите, что прямые $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$, $C_{1}C_{2}$ также проходят через одну точку.
Подробнее