Через точку $O$, расположенную внутри треугольника $ABC$, проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Они разбивают треугольник на три параллелограмма и три треугольника с площадями $S_{1}$, $S_{2}$ и $S_{3}$. Найдите точку $O$, для которой сумма $\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}$ была бы наименьшей.
Подробнее
Рассмотрим множество точек $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n}$ с предписанными им массами $m_{1}$, $m_{2}$, …, $m_{n}$, т.е. множество пар $(A_{i},m_{i})$ ($i=1$, 2, …, $n$), или систему материальных точек.
Центром масс (или
барицентром) этой системы материальных точек называется точка $O$, для которой выполняется равенство
$m_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0}.$
а) Докажите, что для любой системы материальных точек центр масс существует, и притом только один.
б) Докажите, что если $X$ - произвольная точка, а $O$ - центр масс системы материальных точек $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n}$ с массами $m_{1}$, $m_{2}$, …, $m_{n}$, то
$\overrightarrow{XO}=\frac{1}{m_{1}+m_{2}+\dots+m_{n}}(m_{1}\overrightarrow{XA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{XA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{XA_{n}}).$
Подробнее
Докажите, что центр масс материальной системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме их масс.
Подробнее
Докажите, что центр масс точек $A$ и $B$ с массами $a$ и $b$ соответственно лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $b:a$, считая от точки $A$.
Подробнее
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$, $E_{1}$, $F_{1}$ - середины сторон соответственно $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA$ произвольного шестиугольника $ABCDEF$. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников $A_{1}C_{1}E_{1}$ и $B_{1}D_{1}F_{1}$ совпадают.
Подробнее
Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника $ABC$ так, что их центр масс остаётся на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника $ABC$, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Точки $L$ и $M$ являются соответственно серединами сторон $BC$ и $AD$. Отрезок $LM$ содержит точку $K$.
а) Докажите, что в четырёхугольнике $ABCD$ есть параллельные стороны.
б) Известно, что в четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB=3$, $AC=\sqrt{13}$ и $LK:KM=1:3$
Подробнее
Окружность $\omega_{1}$ с центром $O_{1}$ и окружность $\omega_{2}$ с центром $O_{2}$ касаются внешним образом. Из точки $O_{1}$ к $\omega_{2}$ проведена касательная $O_{1}A$, а из точки $O_{2}$ к $\omega_{1}$ проведена касательная $O_{2}B$ ($A$ и $B$ - точки касания).
а) Докажите, что углы $O_{1}AB$ и $O_{1}O_{2}B$ равны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $O_{1}O_{2}AB$, если известно, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $O_{1}O_{2}$, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.
Подробнее
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $K$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
Подробнее
В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
Подробнее
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ - точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.
Подробнее
Точка $B$ лежит на отрезке $AC$. Прямая, проходящая через точку $A$, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.
а) Докажите, что $AD\parallel MC$.
б) Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK=3$ и $MK=12$.
Подробнее
Параллелограмм $ABCD$ таков, что $\angle B\lt90^{\circ}$ и $AB\lt BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через точку $D$. Оказалось, что $\angle EDA=\angle FDC$. Найдите угол $ABC$.
Подробнее
Существует ли четырёхугольник, у которого можно изменить положение любой вершины, оставив три другие на месте, так, что получившиеся четыре точки служат вершинами четырёхугольника, равного исходному?
Подробнее
Остроугольный треугольник $ABC$ $(AB\lt AC)$ вписан в окружность $\Omega$. Пусть $M$ - точка пересечения его медиан, а $AH$ - высота этого треугольника. Луч $MH$ пересекает $\Omega$ в точке $A'$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A'HB$, касается $AB$.
Подробнее