Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$ и углом $A=50^{\circ}$. Точки $K$ и $L$ на катете $BC$ таковы, что $\angle KAC=\angle LAB=10^{\circ}$. Найдите отношение $\frac{CK}{LB}$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике с перпендикулярными диагоналями равны два противолежащих угла. Докажите, что в него можно вписать окружность.
Подробнее
Пусть $CC_{0}$ - медиана треугольника $ABC$, серединные перпендикуляры к $AC$ и $BC$ пересекают $CC_{0}$ в точках $A'$ и $B'$, прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются в точке $C_{1}$. Докажите, что $\angle C_{1}CA=\angle C_{0}CB$.
Подробнее
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и углом $\alpha$ при вершине. На отрезке $AC$ во внешнюю сторону построена дуга с градусной мерой $\beta$. Две прямые, проходящие через вершину $B$, делят как отрезок, так и дугу $AC$ на три равные части. Найдите отношение $\frac{\alpha}{\beta}$.
Подробнее
Докажите неравенство
$\frac{1}{\sqrt{2\sin A}}+\frac{1}{\sqrt{2\sin B}}+\frac{1}{\sqrt{2\sin C}}\leq\sqrt{\frac{p}{r}},$
где $p$ - полупериметр, а $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.
Подробнее
Постройте треугольник, если даны его центр тяжести (точка пересечения медиан) и основания высоты и биссектрисы, проведённых к одной стороне.
Подробнее
Пусть $A_{1}B_{1}C_{1}$ - треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно центра окружности, вписанной в его серединный треугольник (треугольник с вершинами в серединах сторон треугольника $ABC$). Докажите, что ортоцентр треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$ совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника $ABC$.
Подробнее
Две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются в двух точках $X$ и $Y$, а третья окружность $\omega$ касается внутренним образом окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $XY$ пересекает окружность $\omega$ в двух точках $M$ и $N$. Лучи $PM$ и $PN$ пересекают $\omega_{1}$ в точках $A$ и $D$, а лучи $QM$ и $QN$ пересекают $\omega_{2}$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что $AB=CD$.
Подробнее
На медианах $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ построены в сторону вершины $C$ дуги с одинаковой градусной мерой. Докажите, что общая хорда окружностей, содержащих эти дуги, проходит через точку $C$.
Подробнее
Пусть $ABC$ - прямоугольный треугольник ($\angle C=90^{\circ}$), $CD$ - высота, $K$ - точка плоскости, причём $AK=AC$. Докажите, что диаметр описанной окружности треугольника $ABK$, проходящий через вершину $A$, перпендикулярен прямой $DK$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA'$, $BB'$ и $CC'$. Пусть отрезки $A'B'$ и $CC'$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $A'C'$ и $BB'$ - в точке $Q$. Докажите, что $\angle PAC=\angle QAB$.
Подробнее
Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.
Подробнее
Центр одного единичного квадрата совпадает с вершиной другого. Найдите площадь общей части квадратов.
Подробнее
Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б) Найдите расстояние от вершины прямого угла трапеции до центра второй окружности, если известно, что точка касания первой окружности делит большую боковую сторону трапеции на отрезки, равные 2 и 8.
Подробнее
Дан четырёхугольник $ABCD$.
а) Докажите, что отрезки $LN$ и $KM$, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, если $LM=3\sqrt{3}$, $KM=6\sqrt{3}$, $\angle KML=60^{\circ}$.
Подробнее