Теорема о композиции поворотов. Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные $360^{\circ}$, является поворотом.
В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота?
Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна $360^{\circ}$.
Подробнее
С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ точки $M$ и $N$ так, чтобы угол при вершине $A$ равнобедренного треугольника $MAN$ был равен $\alpha$.
Подробнее
Шестиугольник $ABCDEF$ - правильный, $K$ и $M$ - середины отрезков $BD$ и $EF$. Докажите, что треугольник $AMK$ - правильный.
Подробнее
Пусть $M$ и $N$ - середины сторон $CD$ и $DE$ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Найдите угол между прямыми $AM$ и $BN$.
Подробнее
С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.
Подробнее
Пусть $ABC$ - остроугольный треугольник, $CC_{1}$ - его биссектриса, $O$ - центр описанной окружности. Точка пересечения прямой $OC_{1}$ с перпендикуляром из $C$ на $AB$ лежит на описанной окружности треугольника $AOB$. Найдите угол $C$.
Подробнее
Дан четырёхугольник $ABCD$. Оказалось, что окружность, описанная около треугольника $ABC$, касается стороны $CD$, а окружность, описанная около треугольника $ACD$, касается стороны $AB$. Докажите, что диагональ $AC$ не больше, чем расстояние между серединами сторон $AB$ и $CD$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Точки $A_{1}$ и $B_{1}$ симметричны точкам $A$ и $B$ относительно прямой $CL$, $A_{2}$ и $B_{2}$ симметричны точкам $A$ и $B$ относительно точки $L$. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, описанных около треугольников $AB_{1}B_{2}$ и $BA_{1}A_{2}$. Докажите, что углы $O_{1}CA$ и $O_{2}CB$ равны.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону $AB$, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ площади 1. Из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BM$ на биссектрису угла $C$. Найдите площадь треугольника $AMC$.
Подробнее
Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $H$ - ортоцентр, $O$ - центр описанной окружности, $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ - высоты. Точка $C_{2}$ симметрична точке $C$ относительно прямой $A_{1}B_{1}$. Докажите, что точки $H$, $O$, $C_{1}$ и $C_{2}$ лежат на одной окружности.
Подробнее
В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямая, проведённая через середину катета $BC$ и центр вписанной окружности, пересекает катет $AC$ в точке $M$, а прямая, проходящая через точки касания вписанной окружности со сторонами $AC$ и $AB$, пересекает высоту треугольника, опущенную на гипотенузу, в точке $N$. Докажите, что $CM=CN$.
Подробнее
Пусть $AH_{a}$ и $BH_{b}$ - высоты треугольника $ABC$, $P$ и $Q$ - проекции точки $H_{a}$ на стороны $AB$ и $AC$. Докажите, что прямая $PQ$ делит отрезок $H_{a}H_{b}$ пополам.
Подробнее
Из вершины $B$ треугольника $ABC$ опущен перпендикуляр $BM$ на биссектрису угла $C$. Пусть $K$ - точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. Найдите угол $MKB$, если известно, что $\angle BAC=\alpha$.
Подробнее