Вокруг треугольника $ABC$ описали окружность $s$. Пусть $L$ и $W$ - точки пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$ и окружностью $s$ соответственно. Точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $ACL$. Восстановите треугольник $ABC$, если даны окружность $s$ и точки $W$ и $O$.
Подробнее
Окружность с центром $I$, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $M$. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $BC$ в точке $N$. Точка $K$ - середина стороны $BC$. Докажите, что $AN\parallel IK$ и $AM\parallel JK$.
Подробнее
На плоскости проведены две прямые, пересекающиеся под углом $40^{\circ}$. Окружность с центром в точке $O$ касается этих прямых. Рассмотрим прямую, отличную от заданных, касающуюся той же окружности и пересекающую данные прямые в точках $B$ и $C$. Чему может равняться угол $BOC$?
Подробнее
Прямая, проходящая через середину $M$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ параллельно биссектрисе угла $C$, пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $E$. Докажите, что $MK\cdot ME=r_{a}\cdot r_{b}$, где $r_{a}$ и $r_{b}$ - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон $BC$ и $AC$.
Подробнее
Вокруг четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, а прямые $BC$ и $AD$ - в точке $K$ (точки $B$ и $D$ лежат на отрезках $AM$ и $AK$ соответственно). Пусть $P$ - проекция точки $M$ на прямую $AK$, $L$ - проекция точки $K$ на прямую $AM$. Докажите, что прямая $LP$ делит диагональ $BD$ пополам.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB-BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}$. Пусть $M$ - середина стороны $AC$, а $N$ - основание биссектрисы угла $B$. Докажите, что $\angle BMC+\angle BNC=90^{\circ}$.
Подробнее
Докажите, что из всех треугольников с заданными периметром и стороной наибольшую высоту, опущенную на эту сторону, имеет равнобедренный.
Подробнее
Даны две пересекающиеся окружности с центрами $O_{1}$, $O_{2}$. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, и центр которой удалён от прямой $O_{1}O_{2}$ на наибольшее расстояние.
Подробнее
На сторонах выпуклого четырёхугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, проходят через точку пересечения диагоналей четырёхугольника.
Подробнее
Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность с центром $O$, построенная на большей стороне $CD$ как на диаметре, касается боковой стороны $AB$ в точке $P$ и второй раз пересекает основание $AD$ в точке $H$.
а) Докажите, что $\angle CDP=\angle HCP$.
б) Найдите отношение $AH:DH$, если $\angle ADC=60^{\circ}$.
Подробнее
В треугольник $ABC$ вписан ромб $CKLN$ так, что точка $L$ лежит на стороне $AB$, точка $N$ - на стороне $AC$, точка $K$ - на стороне $BC$. Пусть $O_{1}$, $O_{2}$ и $O$ - центры описанных окружностей треугольников $ACL$, $BCL$ и $ABC$ соответственно. Пусть $P$ - точка пересечения описанных окружностей треугольников $ANL$ и $BKL$, отличная от $L$. Докажите, что точки $O_{1}$, $O_{2}$, $O$ и $P$ лежат на одной окружности.
Подробнее
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены треугольники $A_{1}BC$, $B_{1}CA$ и $C_{1}AB$, причём $\angle A_{1}BC=\angle C_{1}BA$, $\angle C_{1}AB=\angle B_{1}AC$, $\angle B_{1}CA=\angle A_{1}CB$. Докажите, что прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке.
Подробнее
Прямые, симметричные диагонали $BD$ четырёхугольника $ABCD$ относительно биссектрис углов $B$ и $D$, проходят через середину диагонали $AC$. Докажите, что прямые, симметричные диагонали $AC$ относительно биссектрис углов $A$ и $C$, проходят через середину диагонали $BD$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Докажите, что проекции точек $B$ и $D$ на прямые $IA$ и $IC$ лежат на одной окружности.
Подробнее
Даны четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$. Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через $A$ и $B$, а другая - через $C$ и $D$, пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
Подробнее