Найдите все решения уравнения
$n!(n - 1)! = m!$
Подробнее
Пусть $S$ - сумма всех элементов магического квадрата третьего порядка, составленного из целых чисел, а $D$ - определитель этого квадрата, если последний рассматривать как матрицу. Покажите, что $\frac{D}{S}$ - целое число.
Подробнее
Разложите на множители $a^{15} + 1$.
Подробнее
В следующем крипта-рифме каждая буква поставлена вместо десятичной цифры (своей для каждой буквы):
$7 (FRY \: HAM) = 6(HAM \: FRY)$.
Определите, какую цифру изображает каждая буква.
Подробнее
Один фермер умер, оставив в наследство двум сыновьям стадо коров. Сыновья продали это стадо, причем за каждую голову выручили столько долларов, сколько было голов в стаде. На вырученные деньги сыновья купили овец по 10 долларов за штуку и одного ягненка, который обошелся дешевле 10 долларов. Потом они поделили овец и ягненка между собой так, что каждый из братьев получил одинаковое количество животных. Сколько должен заплатить своему брату тот из сыновей, которому достались одни овцы, чтобы каждый наследник получил равную долю?
Подробнее
Решите уравнение
$(6x + 28)^{ \frac{1}{3}} - (6x - 28)^{ \frac{1}{3} } = 2$.
Подробнее
Из перечисленных ниже пар чисел одна и только одна не удовлетворяет уравнению $187x - 104y = 41$. Какая именно?
1) $x = 3, y = 5$; 2) $x = 107, y = 192$; 3) $x = 211, y = 379$; 4) $x = 314, y = 565$; 5) $x = 419, y = 753$
Подробнее
Решите следующую систему уравнений:
$\begin{cases} x +y+z+u=5 \\ y + z + u + v =1 \\ z+u+v+x=2 \\ u+v+x+y=0 \\ v+x+y+z=4 \end{cases}$
Подробнее
Возьмем последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 13, ..., члены которой $F_{n}$ (числа Фибоначчи) удовлетворяют соотношению $F_{n+2} = F_{n} + F_{n+1}, F_{1} = F_{2} = 1$. Рассмотрим далее последовательность цифр, стоящих в разряде единиц у чисел Фибоначчи. Будет ли эта последовательность циклической, то есть можно ли получить ее с помощью неограниченного повторения одного и того же конечного набора цифр, как это справедливо, например, в случае последовательности 055055...?
Подробнее
Пусть $a, b, c$ - корни уравнения $x^{3} + qx + r = 0$. Напишите уравнение, корнями которого будут числа
$\frac{b+c}{a^{2}}, \frac{c+a}{b^{2} }, \frac{a+b}{c^{2}}$.
Подробнее
Даны $n$ различных положительных чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$. Из них составляют всевозможные суммы с любым числом слагаемых (от 1 до $n$). Доказать, что из этих сумм найдется по крайней мере $\frac{n(n + 1)}{2}$ попарно неравных.
Подробнее
Человек пил кофе следующим образом: сначала он наливал полную чашку кофе, выпивал некоторую ее часть, затем доверху наливал молоко, выпивал часть смеси, снова наливал молоко доверху и т.д. Каждый раз он выпивал вдвое меньше предыдущего, кроме последнего раза, когда он выпил чашку до дна. Чего он выпил больше - кофе или молока?
Подробнее
Найти все числа, которые уменьшаются в 12 раз при зачеркивании в них последней цифры.
Подробнее
Из трех рабочих первый и третий произвели продукции в 2 раза больше, чем второй, а второй и третий - в 3 раза больше, чем первый. Кто из трех рабочих заработал больше?
Подробнее
В зале $p >2$ людей. Доказать, что среди них найдется по меньшей мере 2 человека, которые имеют среди присутствующих одинаковое количество знакомых.
Подробнее