Пусть $n$ - целое число. Доказать, что если
$2 + 2 \sqrt{28n^{2} + 1}$ - целое число, то оно является точным квадратом.
Подробнее
Доказать, что при всех целых $k \geq 1$ и вещественных $x$ справедливо неравенство
$1 - x + \frac {x^{2}}{2!} - \frac {x^{3}}{3!} + \cdots + (- 1)^{j} \frac {x^{j}}{j!} + \cdots + \frac {x^{2k}}{(2k)!} \geq 0$.
Подробнее
На ребре $AA_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ взята точка $E$ так, что $A_{1}E=6EA$. Точка $T$ - середина ребра $B_{1}C_{1}$. Известно, что $AB=4\sqrt{2}$, $AD=12$, $AA_{1}=14$.
а) Докажите, что плоскость $ETD_{1}$ делит ребро $BB_{1}$ в отношении $4:3$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $ETD_{1}$.
Подробнее
Вычислите массу серного колчедана, требуемого для получения 100%-й серной кислоты массой 1 кг.
Подробнее
Какую массу ледяной уксусной кислоты можно получить из карбида кальция массой 100 г с массовой долей примесей 4%.
Подробнее
Найдите все значения параметра $a$, при которых решением неравенства
$x^{2} - (a^{2} + 1) x + 2a^{2} - 2 \leq 0$
является отрезок, принадлежащий множеству решений неравенства
$x^{2} - (a+6)x + 5a + 5 \geq 0$
Подробнее
Найдите все решения следующей системы уравнений:
$\begin{cases} + y + z + w = 10 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 30 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} + w^{3} = 100 \\ xyzw = 24 \end{cases}$
Подробнее
Разложите на множители, не группируя члены, выражение
$x^{8} - x^{7}y + x^{6}y^{2} - x^{5}y^{3} + x^{4}y^{4} - x^{3}y^{5} + x^{2}y^{6} - xy^{7} + y^{8}$.
Подробнее
Сколько отрицательных корней имеет уравнение
$x^{4} - 5x^{3} - 4x^{2} - 7x + 4 = 0$?
Подробнее
Упростите выражение,
$\frac{27 + 8i}{3 + 2i^{3}}$.
Подробнее
Чему равна сумма
$1(1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + \cdots + n (n!)$?
Подробнее
Покажите, что уравнение четвертого порядка
$( ) x^{4} + ( ) x^{3} + ( ) x^{2} + () x + () = 0$,
где скобки в произвольном порядке заполнены числами 1, -2, 3, 4, -6 (по одному числу в каждой скобке), всегда имеет рациональный корень.
Подробнее
Девушка купила в магазине $x$ роз, заплатив за все $y$ долларов ($x$ и $y$ - целые числа). Когда она собиралась уходить, продавец сказал ей: «Если бы вы купили еще 10 роз, то я отдал бы вам все розы за 2 доллара и вы сэкономили бы 80 центов на каждой дюжине». Найдите $x$ и $y$.
Подробнее
Первого апреля 1946 г. газета «Иерихон Дейли Ляпсус» сообщила: «Известный астролог и знаток чисел из Гайясуелы, профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо, предсказал что конец света наступит в 2141 г. Его предсказание основано на глубоких математических и исторических исследованиях. Профессор Умбуджо вычислил, чему равно выражение
$1492^{n} - 1770^{n} - 186З^{n} + 2141^{n}$
при $n = 0, 1, 2, 3$ и т. д. до 1945. и обнаружил, что все числа, которые он получил в результате многомесячной кропотливой работы, делятся на 1946. Числа 1492, 1770 и 1863 представляют собой даты исторических событий: открытия Нового Света, Бостонской резни и Геттисбергского послания соответственно. Что же может произойти в 2141 г.? Очевидно, конец света».
Лишить бы звания такого профессора! Получите его результат с помощью простой выкладки.
Подробнее
Найдите шесть наименьших различных целых чисел таким образом, чтобы произведение каждых пяти произвольно выбранных из этой шестерки чисел равнялось одному или нескольким периодам в десятичном представлении числа, обратного к оставшемуся шестому числу. Например, если мы возьмем десятичное представление числа, обратного к 41,
$\frac{1}{41}= 0,243902439 \cdots$,
то период будет равен 02439.
Подробнее