Могут ли величины $\sqrt{ \sin \theta}$ и $\sqrt{ \cos \theta}$ одновременно принимать рациональные значения для какого-нибудь $\theta$ из интервала $\left ( 0, \frac{ \pi}{2} \right )$?
Подробнее
Могут ли квадратные корни из трех различных простых чисел быть членами одной и той же геометрической прогрессии?
Подробнее
Покажите. что все целые решения уравнения
$x^{3} + y^{3} + z^{3} = u^{3}$,
где $x, y, z, u$ образуют арифметическую прогрессию, кратны $x = 3, y = 4, z = 5, u = 6$.
Подробнее
Пусть $a, m, n$ - положительные целые числа и $n$, кроме того, нечетно. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a^{n} - 1$ и $a^{m} + 1$ не превосходит 2.
Подробнее
Квадрат $3 \times 3$ мы называем гномон-магическим, если суммы чисел, составляющих квадраты $2 \times 2$, которые остаются после удаления из исходного квадрата одного из четырех «уголков» (гномонов). равны между собой. Покажите, что у гномон-магического квадрата третьего порядка суммы чисел, стоящих на двух диагоналях, равны между собой. Сохраняется ли это свойство для более высоких порядков?
Подробнее
Докажите, что диофантово уравнение $5^{x} + 2 = 17^{y}$ не имеет решений.
Подробнее
Предположим, что $a - 1$ и $a + 1$ - простые числа (такая пара называется простыми близнецами), большие 10. Докажите, что $a^{3} - 4a$ делится на 120.
Подробнее