Дан треугольник $ABC$. На его сторонах $AB$ и $BC$ построены внешним образом квадраты $ABMN$ и $BCPQ$. Докажите, из середины отрезка $NP$ сторона $AC$ видна под прямым углом.
Подробнее
Даны окружность, две точки $P$ и $Q$ этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку $M$, чтобы прямые $MP$ и $MQ$ отсекали на данной прямой отрезок $AB$ данной величины.
Подробнее
Окружности радиусов 2 и 3 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 2 и 10 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=22{,}5^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 3 и 9 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 1 и 7 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=22{,}5^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 5 и 8 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=15^{\circ}$.
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана произвольная точка $D$. В треугольники $ABD$ и $ACD$ вписаны окружности с центрами $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $BKD$ и $CLD$ вторично пересекаются на фиксированной окружности.
Подробнее
Окружность радиуса $8\sqrt{2}$ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках $M$ и $N$. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите $MN$.
Подробнее
Окружности радиусов $4\sqrt{3}$ и $9\sqrt{3}$ с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $L$. Прямая, проходящая через точку $L$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $K$, а большую - в точке $M$. Найдите площадь треугольника $KMO_{1}$, если $\angle LMO_{2}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов $5\sqrt{3}$ и $8\sqrt{3}$ с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $L$. Прямая, проходящая через точку $L$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $K$, а большую - в точке $M$. Найдите площадь треугольника $KMO_{1}$, если $\angle LMO_{2}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов $4\sqrt{3}$ и $13\sqrt{3}$ с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $L$. Прямая, проходящая через точку $L$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $K$, а большую - в точке $M$. Найдите площадь треугольника $KMO_{1}$, если $\angle LMO_{2}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов $2\sqrt{3}$ и $9\sqrt{3}$ с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $L$. Прямая, проходящая через точку $L$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $K$, а большую - в точке $M$. Найдите площадь треугольника $KMO_{1}$, если $\angle LMO_{2}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов $9\sqrt{3}$ и $15\sqrt{3}$ с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $L$. Прямая, проходящая через точку $L$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $K$, а большую - в точке $M$. Найдите площадь треугольника $KMO_{1}$, если $\angle LMO_{2}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 1 и 4 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются внешним образом в точке $C$, $O_{1}A$ и $O_{2}B$ - параллельные радиусы окружностей, причём $\angle AO_{1}O_{2}=60^{\circ}$. Найдите $AB$.
Подробнее