Пусть
$p_{1} < p_{2} < \cdots < p_{n}$ - различные простые числа. Рассмотрим выражение:
$p_{1} : p_{2} : p_{3} : \cdots : p_{n}$.
Расставляя различными способами скобки, можем получать разные выражения. Например, при $n = 4$ можно расставить скобки следующими способами: $p_{1} : (p_{2} : (p_{3} : p_{4})); (p_{1} : p_{2}): (p_{3} : p_{4}); p_{1} : ((p_{2}: p_{3}): p_{4}); (p_{1} : (p_{2} : p_{3})): p_{4}$.
Легко заметить, что первое и последнее из написанных выражений представляют одно и то же число $\frac{p_{1}p_{3}}{p_{2}p_{4}}$. Спрашивается, сколько различных чисел можно получить из предложенного выражения, расставляя скобки, при произвольном $n \geq 2$?
Подробнее
Рассмотрим все наборы $c = ( \alpha_{1}, \cdots , \alpha_{k} )$ из целых чисел, такие, что $0 \leq \alpha_{i} \leq n$ при $i = 1, 2, \cdots , k$. Обозначим через $m(c)$ минимальное из чисел $\alpha_{1}, \cdots , \alpha_{k}$. Доказать, что сумма $m(c)$ по всем рассматриваемым выше наборам $c$ равна $1^{k} + 2^{k} + \cdots + n^{k}$.
Подробнее
В круге проведено $n$ хорд, которые пересекаются внутри круга в $m$ точках, причем точка пересечения хорд считается $k$ раз, если через нее проходит $k + 1$ хорда. На сколько частей эти хорды делят круг?
Подробнее
Доказать, что при фиксированных натуральных $a, b, v$ уравнение
$a^{n} + b^{n} = c^{n}$
имеет не более одного решения во множестве натуральных чисел $n$.
Подробнее
Доказать, что уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1977}$ не имеет решений во множестве натуральных чисел.
Подробнее
Решить в целых числах уравнение:
$3x^{2} + 5y^{2} = 345$.
Подробнее
Пусть $p$ - простое число. Доказать, что $2^{p} + 3^{p}$ нельзя представить в виде $x^{m}$, где $x$ и $m$ - натуральные числа и $m > 1$.
Подробнее
Найти все решения уравнения
$2^{x} + 3^{y} = z^{2}$
во множестве целых чисел.
Подробнее
Найти все решения уравнения
$y^{2}+ y = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x$
во множестве целых чисел.
Подробнее
Найти все решения уравнения
$4^{x} + 4^{y} + 4^{z} = u^{2}$
во множестве целых чисел.
Подробнее
Решить уравнение
$\frac{x}{y} = \frac{ (x^{2} - y^{2} )^{ \frac{y}{x} } + 1 }{ (x^{2} - y^{2} )^{ \frac{y}{x} } -1}$.
во множестве натуральных чисел.
Подробнее
Вычислить сумму $[ \sqrt{1} ] + [ \sqrt{2} ] + [ \sqrt{3} ] + \cdots + [ \sqrt{n^{2} - 1 } ] $.
Подробнее
Доказать, что
$[2 \alpha + 2 \beta ] \geq [ \alpha + \beta ] + [ \alpha ] + [ \beta ]$.
Подробнее
По кругу расположены $n$ положительных чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}$. Обозначим через $b_{i}(i = 1, 2, \cdots , n)$ сумму $m$ последовательных чисел, начиная с $a_{i}$, расположенных по часовой стрелке. Доказать, что при $m < n$ $m^{n} \: a_{1}a_{2} \cdots a_{n} \leq b_{1}b_{2} \cdots b_{n}$, причем равенство имеет место лишь в том случае, когда $a_{1} = a_{2}= \cdots = a_{n}$.
Подробнее