В квадрате $ABCD$ площади 1 сторона $AD$ продолжена за точку $D$ и на продолжении взята точка $O$ на расстоянии 3 от точки $D$. Из точки $O$ проведены два луча. Первый луч пересекает отрезок $CD$ в точке $M$ и отрезок $AB$ в точке $N$, причём $ON=a$. Второй луч пересекает отрезок $CD$ в точке $L$ и отрезок $BC$ в точке $K$, причём $\angle BKL=\alpha$. Найдите площадь многоугольника $BKLMN$.
Подробнее
Теорема Чевы. Пусть точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ принадлежат сторонам (или их продолжениям) соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда
$\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1.$
Подробнее
Теорема Менелая. Дан треугольник $ABC$. Точки $A_{1}$ и $C_{1}$ лежат на сторонах соответственно $BC$ и $AB$, а точка $B_{1}$ - на продолжении стороны $AC$ за точку $C$. Докажите, что точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
$\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1.$
Подробнее
Точки $A_{1}$ и $B_{1}$ делят стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в отношениях: $BA_{1}:A_{1}C=1:p$ и $AB_{1}:B_{1}C=1:q$. В каком отношении отрезок $AA_{1}$ делится отрезком $BB_{1}$?
Подробнее
Через точку $P$, лежащую на медиане $CC_{1}$ треугольника $ABC$, проведены прямые $AA_{1}$ и $BB_{1}$ (точки $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на сторонах $BC$ и $CA$ соответственно). Докажите, что $A_{1}B_{1}\parallel AB$.
Подробнее
Прямая, соединяющая точку $P$ пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$ с точкой $Q$ пересечения прямых $AB$ и $CD$, делит сторону $AD$ пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону $BC$.
Подробнее
На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $K$. Прямая $AK$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $L$ и $M$. Докажите, что $AK^{2}=LK\cdot KM$.
Подробнее
На основании $AD$ трапеции $ABCD$ взята точка $E$, причём $AE=BC$. Отрезки $CA$ и $CE$ пересекают диагональ $BD$ в точках $O$ и $P$ соответственно. Докажите, что если $BO=PD$, то $AD^{2}=BC^{2}+AD\cdot BC$.
Подробнее
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, а точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ - на другой. Докажите, что если $AB_{1}\parallel BA_{1}$ и $AC_{1}\parallel CA_{1}$, то $BC_{1}\parallel CB_{1}$.
Подробнее
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, а точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ таковы, что $AB_{1}\parallel BA_{1}$, $AC_{1}\parallel CA_{1}$ и $BC_{1}\parallel CB_{1}$. Докажите, что точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на одной прямой.
Подробнее
(
Лемма биссектрального треугольника.) В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_{1}$ и $BB_{1}$. Докажите, что расстояние от любой точки $M$ отрезка $A_{1}B_{1}$ до прямой $AB$ равно сумме расстояний от $M$ до прямых $AC$ и $BC$.
Подробнее
Пусть $M$ и $N$ - середины сторон $AD$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$. На продолжении отрезка $DC$ за точку $D$ взята точка $P$; $Q$ - точка пересечения прямых $PM$ и $AC$. Докажите, что $\angle QNM=\angle MNP$.
Подробнее
На высотах $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$ взяты точки $B_{2}$ и $C_{2}$ так, что $\angle AB_{2}C=\angle AC_{2}B=90^{\circ}$. Докажите, что $AB_{2}=AC_{2}$.
Подробнее
На стороне $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки $K$ и $L$, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые $AK$ и $AL$ делят отрезок $BC$ на равные части.
Подробнее
Отрезок $BE$ разбивает треугольник $ABC$ на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен $\sqrt{3}$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Подробнее