Угол треугольника равен $60^{\circ}$. Докажите, что центр вписанной окружности равноудалён от центра описанной окружности и точки пересечения высот.
Подробнее
Две вершины квадрата расположены на основании равнобедренного треугольника, а две другие - на его боковых сторонах. Найдите сторону квадрата, если основание треугольника равно $a$, а угол при основании равен $30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Известно, что $\angle AO_{1}B=90^{\circ}$, $\angle AO_{2}B=60^{\circ}$, $O_{1}O_{2}=a$. Найдите радиусы окружностей.
Подробнее
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен $r$, а острый угол ромба равен $\alpha$. Найдите сторону ромба.
Подробнее
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна $a$ и образует угол $\alpha$ с медианой, проведённой из той же вершины. Найдите катеты треугольника.
Подробнее
Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ - величины углов треугольника, то:
$\mbox{а})\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leq\frac{3\sqrt{3}}{8};~~\mbox{б})\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\leq\frac{3\sqrt{3}}{8}.$
Подробнее
Диагональ $AC$ равнобедренной трапеции $ABCD$ равна $a$ и образует углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно с большим основанием $AD$ и боковой стороной $AB$. Найдите основания трапеции.
Подробнее
На стороне угла с вершиной $A$ расположена точка $B$. Из точки $A$ по второй стороне угла с постоянной скоростью ползёт муравей. Одновременно из точки $B$ по направлению к $A$ с той же скоростью выползает второй муравей. В момент, когда расстояние между муравьями наименьшее, второй муравей находится в точке $P$. Найдите $AP$, если известно, что $AB=a$.
Подробнее
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ с углом $\alpha$ при вершине $B$ расположена точка $K$, причём $AK=BC$. Пусть $P$ - середина $BK$, $M$ - середина $AC$. Найдите угол $APM$
Подробнее
На одной из сторон угла, равного $\alpha$ ($\alpha\lt90^{\circ}$), с вершиной в точке $O$ взяты точки $A$ и $B$, причём $OA=a$, $OB=b$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся другой стороны угла.
Подробнее
Вписанная окружность треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ касается сторон $A_{2}A_{3}$, $A_{3}A_{1}$ и $A_{1}A_{2}$ в точках $S_{1}$, $S_{2}$ и $S_{3}$ соответственно. Пусть $O_{1}$, $O_{2}$ и $O_{3}$ - центры вписанных окружностей треугольников $A_{1}S_{2}S_{3}$, $A_{2}S_{3}S_{1}$ и $A_{3}S_{1}S_{2}$ соответственно. Докажите, что прямые $O_{1}S_{1}$, $O_{2}S_{2}$ и $O_{3}S_{3}$ пересекаются в одной точке.
Подробнее
Два равносторонних треугольника $ABC$ и $CDE$ расположены по одну сторону от прямой $AE$ и имеют единственную общую точку $C$. Пусть $M$, $N$ и $K$ - середины отрезков $BD$, $AC$ и $CE$ соответственно. Докажите, что треугольник $MNK$ - равносторонний.
Подробнее
Отрезок, соединяющий вершину $A$ треугольника $ABC$ с центром $Q$ вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$, пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $D$. Докажите, что треугольник $BDQ$ - равнобедренный.
Подробнее
В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$ из вершины прямого угла. Пусть $l$, $l_{1}$ и $l_{2}$ - соответствующие линейные элементы подобных треугольников $ABC$, $ACD$ и $CBD$. Докажите, что
$l_{1}^{2}+l_{2}^{2}=l^{2}.$
Подробнее
Центры трёх окружностей, попарно касающихся друг друга внешним образом, расположены в вершинах прямоугольного треугольника. Эти окружности касаются изнутри четвёртой окружности. Найдите радиус четвёртой окружности, если периметр прямоугольного треугольника равен $2p$.
Подробнее