Куб с ребром длины $n, n \geq 3$, состоит из $n^3$ единичных кубиков. Докажите, что в каждом из этих кубиков можно записать по целому числу так, чтобы все $n^3$ чисел были различными, а суммы чисел в любом ряду, параллельном какому-либо ребру куба, равнялись нулю.
Подробнее
На плоскости дан правильный $n$-угольник $A_1A_2 \cdots A_n$. а) Докажите, что если $n$ - четное число, то для произвольной точки $M$ плоскости в выражении $\pm \vec {MA_1} \pm \vec {MA_2} \pm \cdots \pm \vec {MA_n}$ можно так выбрать знаки плюс и минус, что полученная сумма будет равна 0. б) Докажите, что если $n$ - нечетное число, то указанное выражение с помощью выбора знаков плюс и минус можно обратить в 0 только для конечного числа точек $M$ плоскости.
Подробнее
В каждой клетке квадратной таблицы $1987 \times 1987$ написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате $2 \times 2$ данной таблицы сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не превосходит 1987.
Подробнее
Все грани выпуклого многогранника являются треугольниками. Докажите, что каждое ребро этого многогранника можно покрасить в красный или синий цвет так, чтобы в итоге из любой его вершины в любую другую можно было попасть, двигаясь только по красным ребрам, а также только по синим.
Подробнее
Сосновый лес растет на участке, имеющем форму квадрата со стороной 1 км. Он состоит из 4500 деревьев диаметром 50 см. Докажите, что в лесу можно выбрать прямоугольную площадку 10 м х 20 м, на которой не растет ни одно дерево.
Подробнее
На плоскости дано 25 точек, причём среди любых трёх из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Доказать, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.
Подробнее
В окружности единичного диаметра проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более $k$ хорд, то сумма длин всех хорд меньше $3,15k$.
Подробнее
Внутри окружности радиуса $n$ расположены $4n$ отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой $l$ и пересекающую не менее двух данных отрезков.
Подробнее
Даны две окружности, длина каждой равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой - несколько ДУГ, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что зти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.
Подробнее
Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1. Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.
Подробнее
В квадрате со стороной 15 находятся 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.
Подробнее
В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдётся кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.
Подробнее
В квадрате со стороной 1 отметили 101 точку, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 1/100.
Подробнее
Докажите, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.
Подробнее
В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Подробнее