2022-11-10
Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1. Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.
Решение:
Для каждого креста рассмотрим круг радиуса $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ с центром в центре креста. Докажем, что если пересекаются два таких круга, то пересекаются и сами кресты. Расстояние между центрами пересекающихся равных кругов не превосходит их удвоенного радиуса, поэтому расстояние между центрами соответствующих им крестов не превосходит $\frac{1}{ \sqrt{2}}$. Рассмотрим прямоугольник, заданный перекладинами первого креста и центром второго (см. рис.). Одна из перекладин второго креста проходит через этот прямоугольник, поэтому она пересекает первый крест, так как длина перекладины равна $\frac{1}{ \sqrt{2}}$, а длина диагонали прямоугольника не превосходит $\frac{1}{ \sqrt{2}}$. В круге конечного радиуса можно разместить лишь конечное число непересекающихся кругов радиуса $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$.