Доказать, что существуют числа А и В, удовлетворяющие при любом значении $n \in \mathbf{N}$ равенству
$ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = A tg \: n + Bn$,
где обозначено
$a_{k} = tg \: k \: tg \: (k-1)$.
Подробнее
Для заданного натурального значения $n \geq 3$ найти наибольшее возможное число возрастающих арифметических прогрессий, состоящих из трех членов, которые могут быть выбраны из какого-либо набора, содержащего ровно $n$ различных чисел.
Подробнее
Числа 1, 9, 8, 1 являются соответственно четырьмя первыми членами последовательности, в которой каждый из последующих членов равен последней цифре суммы четырех предшествующих ему членов. Могут ли в этой последовательности встретиться числа 1, 2, 3, 4 идущими подряд?
Подробнее
Последовательность натуральных чисел $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdots$ удовлетворяет условиям $a_{1} = 1$ и $a_{n+1} \leq 2n$ при $n \in \mathbf{N}$. Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ существуют члены $a_{p}$ и $a_{q}$ этой последовательности, для которых справедливо равенство $a_{p} – a_{q} = n$.
Подробнее
Даны числа А > 1 и В > 1 и последовательность $\{ a_{n} \} (n \in \mathbf{N})$ чисел из отрезка $[1; AB]$. Доказать, что существует такая последовательность $\{ b_{n} \}$ чисел из отрезка $[1; A]$, что для любых $m, n \in \mathbf{N}$ выполнена оценка $a_{m}/a_{n} \leq Bb_{m}/b_{n}$.
Подробнее
Пусть все члены последовательностей $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ - натуральные числа. Доказать, что существует пара номеров $p < q$, для которых справедливы неравенства $a_{p} \leq a_{q}$ и $b_{p} \leq b_{q}$.
Подробнее
Последовательность положительных чисел $a_{1},a_{2}, \cdots$ удовлетворяет неравенствам $a_{n}^{2} \leq a_{n} – a_{n+1}$ при $n \in \mathbf{N}$. Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ имеет место оценка $a_{n} < 1/n$.
Подробнее
Последовательность чисел $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ задана следующим образом:
$a_{0} = 1/2, a_{k} = a_{k-1} + (1/n) a_{k-1}^{2} (k = 1, \cdots, n)$.
Доказать, что $1 - 1/n < a_{n} < 1$.
Подробнее
Дана числовая последовательность $\{ a_{n} \}$, удовлетворяющая неравенствам $|a_{k+m} – a_{k} – a_{m}| \leq 1$ при $k, m \in \mathbf{N}$. Доказать, что для любых $p, q \in \mathbf{N}$ выполнено неравенство
$\left | \frac{a_{p}}{p} - \frac{a_{q}}{q} \right | < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$
Подробнее
Для заданного числа $a_{1} \in \mathbf{R}$ определим последовательность $a_{1}, a_{2}, \cdots$ следующим образом:
$a_{n+1} = \begin{cases} (1/2)(a_{n} – 1/a_{n}),& \text{если}\: a_{n} \neq 0 \\ 0,& \text{если}\: a_{n} =0, \end{cases}$
при $n \in \mathbf{N}$. Доказать, что в этой последовательности имеется бесконечно много неположительных членов.
Подробнее
Найти все значения $a_{0} \in \mathbf{R}$, для которых последовательность $a_{0}, a_{1}, \cdots,$ определенная равенствами $a_{n+1} = 2^{n} – 3a_{n}$ при $n \in \mathbf{Z}^{+}$, возрастает.
Подробнее
Доказать, что последовательность ненулевых чисел $a_{1},a_{2}, \cdots$, удовлетворяющая для некоторого числа $a$ условиям
$a_{1}, a_{2} \in \mathbf{Z}, (a_{1}^{2} + a^{2}_{2} + a)/(a_{1}a_{2}) \in \mathbf{Z}, a_{n+2} = (a^{2}_{n+1} + a)/a_{n}$
при $n \in \mathbf{N}$, состоит из целых чисел.
Подробнее
Доказать, что каждый член последовательности
$a_{n} = ((2 + \sqrt{3})^{n} - (2 - \sqrt{3})^{n})/(2\sqrt{3}) (n \in \mathbf{Z})$
является целым числом. Найти все значения $n \in \mathbf{Z}$, при каждом из которых число $a_{n}$ делится на 3.
Подробнее
Доказать, что каждый член последовательности
$\left (\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{n} + \left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n} – 2 (n \in \mathbf{N})$
является натуральным числом и представляется в виде $5m^{2}$ или $m^{2} (m \in \mathbf{N})$ при четном или нечетном $n$ соответственно.
Подробнее
Последовательность $a_{1}, a_{1}, \cdots$ удовлетворяет для некоторого параметра $a \in \mathbf{N}$ соотношениям
$a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{n+1} =2 a_{n} + (a - 1)a_{n-1}$
при $n \in \mathbf{N}$. Для фиксированного простого числа $p_{0} > 2$ найти наименьшее значение $a$, при котором верны два утверждения: а) если $p$ - простое число и $p \leq p_{0}$, то число $a_{p}$ делится на $p$; б) если $p$ - простое число и $p > p_{0}$, то число $a_{p}$ не делится на $p$.
Подробнее