2022-11-10
В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдётся кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.
Решение:
Заметим сначала, что точка $X$ принадлежит кольцу с центром $O$ тогда и только тогда, когда точка $O$ принадлежит такому же кольцу с центром $X$. Поэтому достаточно доказать, что если построить кольца с центрами в данных точках, то одну из точек рассматриваемого круга покроет не менее 10 колец. Рассматриваемые кольца лежат внутри круга радиуса 16 + 3 = 19, площадь котоporo равна $361 \pi$. Но $9 \cdot 361 \pi = 3249 \pi$, а суммарная площадь колец равна $650 \cdot 5 \pi = 3250 \pi$.