2022-11-10
Даны две окружности, длина каждой равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой - несколько ДУГ, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что зти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.
Решение:
Совместим данные окружности и посадим в фиксированную точку одной из них маляра. Будем вращать эту окружность и поручим маляру красить ту точку окружности, мимо которой он проезжает, всякий раз, когда какая-либо отмеченная точка лежит на отмеченной дуге. Нужно доказать, что после полного оборота часть окружности останется неокрашенной. Конечный результат работы маляра будет такой же, как если бы ему поручили на $i$-м обороте красить окружность, когда $i$-я отмеченная точка лежит на одной из отмеченных дуг, и сделали бы 100 оборотов. Так как в этом случае при каждом обороте окрашивается меньше 1 см, после 100 оборотов будет окрашено меньше 100 см. Поэтому часть окружности останется неокрашенной.