2019-06-16
На плоскости дан правильный $n$-угольник $A_1A_2 \cdots A_n$. а) Докажите, что если $n$ - четное число, то для произвольной точки $M$ плоскости в выражении $\pm \vec {MA_1} \pm \vec {MA_2} \pm \cdots \pm \vec {MA_n}$ можно так выбрать знаки плюс и минус, что полученная сумма будет равна 0. б) Докажите, что если $n$ - нечетное число, то указанное выражение с помощью выбора знаков плюс и минус можно обратить в 0 только для конечного числа точек $M$ плоскости.
Решение:
а) Пусть $O$ - центр описанной около многоугольника окружности. Тогда $\vec {MA_i} = \vec {MO} + \vec {OA_i}$ и в сумме достаточно взять знак «+» у слагаемых с четными номерами, знак «-» - у остальных.
б) Пусть $\vec {MA_{i_1}}, \vec {MA_{i_2}}, \cdots, \vec {MA_{i_k}}$ входит в сумму со знаком «+» и $\vec {MA_{j_1}}, \cdots, \vec {MA_{j_{n-k}}}$ - со знаком «-». Если сумма равна 0, то $\vec {MO} = \frac{1}{n - 2k} (\vec {OA_{i_1}} + \vec {OA_{i_2}} + \cdots + \vec {OA_{j_1}} - \cdots - \vec {OA_{j_{n-k}}})$, а этим условием $M$ определяется однозначно.