2019-06-16
Куб с ребром длины $n, n \geq 3$, состоит из $n^3$ единичных кубиков. Докажите, что в каждом из этих кубиков можно записать по целому числу так, чтобы все $n^3$ чисел были различными, а суммы чисел в любом ряду, параллельном какому-либо ребру куба, равнялись нулю.
Решение:
Требуемая расстановка получается из расстановки одних нулей с помощью повторения следующих двух операций: а) перестановка местами двух слоев единичных кубиков, параллельных какой-либо грани куба); б) прибавление к числам, стоящим в вершинах исходного куба и помеченных знаком «+», и одновременно вычитание из чисел, стоящих у вершин, помеченных знаком «-» (см. рис.), одного и того же числа.