Докажите, что в выпуклый четырёхугольник площади $S$ и периметра $P$ можно поместить круг радиуса $\frac{S}{P}$.
Подробнее
В квадрате площадью $S$ расположены 1975 фигур, сумма площадей которых больше $1974S$. Докажите, что у этих фигур есть общая точка.
Подробнее
Каким наименьшим числом кругов радиуса 1 можно полностью покрыть круг радиуса 2? (Круги могут накладываться друг на друга и выступать за край большого круга.)
Подробнее
Точки сторон правильного треугольника раскрашены в два цвета. Доказать, что найдётся прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.
Подробнее
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в три цвета. Доказать, что существует равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.
Подробнее
В городе Цветочном $n$ площадей и $m$ улиц ($m \geq n + 1$). Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо синей, либо красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из нее улицы. Докажите, что вначале можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.
Подробнее
В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более, чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.
Подробнее
Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
Подробнее
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок - одним цветом). Существует ли такая раскраска, что для любых трех цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
Подробнее
Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.). Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.
Подробнее
Можно ли в таблице 11 х 11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?
Подробнее
На доске 10 х 10 клеток для игры в «морской бой» расположен четырехклеточный «корабль». Какое наименьшее число «ударов» нужно произвести, чтобы попасть в корабль? (Указать способ нанесения данного числа ударов и доказать, что при меньшем числе ударов всегда можно расположить корабль так, что он не будет обнаружен.)
Подробнее
На бесконечной шахматной доске расставлены пешки через три поля на четвертом (рис.). Доказать, что конь не может обойти все свободные поля, побывав на каждом поле по одному разу.
Подробнее
Доказать, что существует ровно восемь способов обойти конем шахматную доску размером 3x4 так, чтобы побывать по одному разу на каждом поле, и нет ни одного способа обхода, при котором конь последним ходом возвращается на исходное поле. (Два способа обхода доски, получающиеся один из другого, если делать те же ходы в обратном порядке, считаются одинаковыми.)
Подробнее
Склеим шахматную доску (сделанную из резины) бубликом (рис. а), б)). Доказать, что на такой доске нельзя расставить восемь ферзей так, чтобы они не били друг друга. (На обычной шахматной доске такая расстановка возможна; см. рис.)
Подробнее