Доказать, что для любого тетраэдра можно построить треугольник, сторонами которого служат 3 ребра тетраэдра, выходящие из одной его вершины.
Подробнее
Доказать, что если ребра тетраэдра ABCD удовлетворяют равенствам
$AB^{2} + CD^{2} = AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$,
то по крайней мере одна из его граней является остроугольным треугольником.
Подробнее
Верно ли, что если площади четырех граней одного тетраэдра равны площадям соответствующих граней другого, то объемы этих тетраэдров равны?
Подробнее
Доказать, что существует тетраэдр $ABCD$, все грани которого являются подобными прямоугольными треугольниками с острыми углами при вершинах А и В. Определить, какое из ребер этого тетраэдра наибольшее, а какое - наименьшее, и найти длину наименьшего ребра, если длина наибольшего равна 1.
Подробнее
Тетраэдры $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ расположены так, что прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ и $DD^{\prime}$ параллельны, грани $ABC$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ не имеют общих точек, а вершины $D$ и $D^{\prime}$ лежат в плоскостях $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и $ABC$ соответственно. Доказать, что объемы этих тетраэдров одинаковы.
Подробнее
Внутри тетраэдра ABCD расположена точка О так, что прямые АО, ВО, СО, DO пересекают грани BCD, ACD, ABD, ABC тетраэдра в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ соответственно, причем отношения
$\frac{AO}{A_{1}O}, \frac{BO}{B_{1}O}, \frac{CO}{C_{1}O}, \frac{DO}{D_{1}O}$
равны одному и тому же числу. Найти все значения, которые может принимать это число.
Подробнее
На ребрах АВ. AC, AD заданного тетраэдра ABCD для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ выбираются точки $K_{n}, L_{n}, M_{n}$ соответственно так, что
$AB = n AK_{n}, AC = (n+1)AL_{n}, AD = (n+2)AM_{n}$.
Доказать, что все плоскости $K_{n}L_{n}M_{n}$ проходят через одну и ту же прямую.
Подробнее
Доказать, что четыре прямые, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда три произведения длин противоположных ребер равны между собой.
Подробнее
Плоскость пересекает три ребра тетраэдра, выходящие из одной вершины. Доказать, что эта плоскость разбивает поверхность тетраэдра на части, пропорциональные объемам соответствующих частей тетраэдра, тогда и только тогда, когда она проходит через центр сферы, вписанной в тетраэдр.
Подробнее
Доказать, что если в тетраэдре имеются две пары противоположных взаимно перпендикулярных ребер, то середины всех его ребер лежат на одной сфере.
Подробнее
Доказать, что если правильный тетраэдр с ребром $a$ вписан в правильный тетраэдр с ребром $b$ так, что на каждой грани последнего лежит ровно одна вершина вписанного тетраэдра, то $3a \geq b$.
Подробнее
В тетраэдре ABCD ребра AD, BD и CD взаимно перпендикулярны, а их длины равны $a, b, c$ соответственно. Доказать, что для любой точки М, лежащей на одной из сторон треугольника ABC, сумма $S$ расстояний от вершин А, В и С до прямой DM удовлетворяет неравенству
$S \leq \sqrt{2(a^{2} + b^{2} + c^{2})}$
Определить, когда достигается равенство.
Подробнее
Доказать, что расстояния от некоторой точки пространства до каждой из четырех вершин правильного тетраэдра с ребром 2 являются одновременно целыми числами тогда и только тогда, когда эта точка совпадает с одной из вершин тетраэдра.
Подробнее
Доказать, что дли высот $h_{i}(i =1, 2, 3, 4)$ любого тетраэдра и радиусов $r_{i}$ вневписаных сфер справедливо равенство
$2 \left (\frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{3}} + \frac{1}{h_{4}} \right ) = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} + \frac{1}{r_{4}}$.
Подробнее
Сфера касается ребер АВ, ВС, CD, DA тетраэдра ABCD в четырех точках, являющихся вершинами квадрата. Доказать, что если эта сфера, кроме того, касается ребра АС, то она касается и ребра BD.
Подробнее