2022-11-10
В окружности единичного диаметра проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более $k$ хорд, то сумма длин всех хорд меньше $3,15k$.
Решение:
Пусть сумма длин хорд не меньше, докажем, что тогда найдётся диаметр, пересекающий по крайней мере $k + 1$ хорду. Так как длина дуги, стягиваемой хордой, больше длины этой хорды, то сумма длин дуг, стягиваемых данными хордами, больше к. Если к этим дугам добавим дуги, симметричные им относительно центра окружности, то сумма длин всех рассматриваемых дуг будет больше $2k$. Поэтому найдётся точка, которую покрывает по крайней мере $k + 1$ из этих дуг. Диаметр, проведённый через эту точку, пересекает по крайней мере $k + 1$ хорду.