2022-11-10
В квадрате со стороной 15 находятся 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.
Решение:
Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, удалённых от квадратика со стороной 1 на расстояние не больше 1 (см. рис.). Ясно, что круг радиуса 1, центр которого расположен вне этой фигуры, не пересекается с квадратиком. Площадь такой фигуры равна $\pi + 5$. Центр нужного круга должен также находиться на расстоянии больше 1 от сторон большого квадрата, т. е. внутри квадрата со стороной 13. Ясно, что 20 фигур площадью $\pi + 5$ не могут покрыть квадрат со стороной 13, так как $20( \pi + 5) < 13^{2}$. Круг с центром в непокрытой точке обладает требуемым свойством.