Докажите, что если выбрать наугад 6 человек, то либо среди них найдутся трое, каждый из которых знаком с остальными двумя, либо - трое, ни один из которых не знаком с остальными.
Подробнее
Одному физическому обществу потребовалось провести выборы на три руководящие должности. На каждую из трех должностей претендовало соответственно 3, 4 и 5 кандидатов. Дабы тот номер, под которым каждый кандидат указан в избирательном бюллетене, не оказал влияния на результаты голосования, было решено применить правило, согласно которому в списке кандидатов на каждую должность каждый кандидат должен появиться под каждым номером одинаковое число раз. Какое минимальное число различных бюллетеней требуется для того, чтобы соблюсти это правило?
Подробнее
У 70% из некоторой совокупности мужчин карие глаза; у 75% - темные волосы, у 85% - рост превышает 5 футов 8 дюймов и 90% весят более 140 фунтов. Какой процент мужчин заведомо обладает всеми четырьмя названными характеристиками?
Подробнее
Выясните, справедливо ли следующее утверждение: если деревьев больше, чем листьев на каждом из них, то по меньшей мере на двух деревьях число листьев одинаково.
Подробнее
Допустим, что с помощью некоторой триангуляции мы разбили сферу на «страны». Здесь под триангуляцией мы понимаем такое разбиение сферы, при котором каждая получившаяся «страна» граничит (то есть имеет общий участок границы ненулевой длины) ровно с тремя остальными «странами». Вершину графа, состоящего из граничных линий, мы назовем четной или нечетной, если из нее выходит соответственно четное или нечетное число таких линий. Можно ли построить такую триангуляцию сферы, при которой получились бы ровно две нечетные вершины, причем эти вершины оказались бы смежными?
Подробнее
Рождественское поздравление A MERRY XMAS TO ALL представляет собой криптарифм, где каждая буква означает вполне определенную десятичную цифру, а каждое слово заменяет квадратное число. Расшифруйте эту запись, если известно, кроме того, что сумма цифр в каждом слове также совпадает с некоторым квадратом.
Подробнее
Сорок цилиндров диаметра 1 см и одинаковой высоты плотно разместили в ящике в 5 рядов по 8 цилиндров в каждом так, чтобы они не «болтались» во время перевозки. Сколько цилиндров нужно удалить из ящика, чтобы, передвинув оставшиеся в нем цилиндры и добавив в конце вынутые цилиндры и еще один цилиндр, упаковать в этом ящике 41 цилиндр того же размера? Будут ли цилиндры «болтаться» в этом случае?
Подробнее
Сколькими способами 9 равных квадратиков (3 красных, 3 белых и 3 голубых) можно расположить в виде квадрата $3 \times 3$ так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались квадратики всех цветов?
Подробнее
Найдите наибольшее возможное число пересечений диагоналей плоского выпуклого $n$-угольника.
Подробнее
Корабль $A$ бросил якорь в 9 милях от ближайшей к нему точки прямолинейного берега $O$. Корабль $B$ стоит в 3 милях от берега напротив точки берега, расположенной в 6 милях от $O$. Лодка отчаливает от корабля $A$, плывет к некоторой точке на берегу, забирает там пассажира и доставляет его на борт $B$. Одна миля пути обходится владельцу лодки в 1 доллар вне зависимости от того, везет ли он пассажира или идет порожняком. Пассажир за 1 милю пути платит владельцу лодки 2 доллара. Где следует владельцу лодки назначить встречу с пассажиром, Чтобы его чистый доход (на пути от $A$ до берега и далее до $B$) был максимален?
Подробнее