2022-11-10
На плоскости дано 25 точек, причём среди любых трёх из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Доказать, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.
Решение:
Пусть $A$ - одна из данных точек. Если все остальные точки лежат в круге $S_{1}$ радиуса 1 с центром $A$, то доказывать больше нечего. Пусть теперь $B$ - данная точка, лежащая вне круга $S_{1}$, т. е. $AB > 1$. рассмотрим круг $S_{2}$ радиуса 1 с центром $B$. Среди точек $A, B$ и $C$, где $C$ - любая из данных точек, найдутся две на расстоянии меньше 1, причём это не могут быть точки $A$ и $B$. Поэтому круги $S_{1}$ и $S_{2}$, содержат все данные точки, т. е. один из них содержит не менее 13 точек.