Требуется расставить несколько слонов на шахматной доске так, чтобы все поля держались ими под угрозой и чтобы каждый слон был защищен другими (т. е. поле, на котором он стоит, находилось под ударом каких-то других слонов). Какое наименьшее число слонов достаточно для этого?
Подробнее
В 4 «А» классе учатся 30 человек. Во время диктанта один ученик сделал 12 ошибок, а остальные - меньше. Докажите, что в классе имеется по крайней мере три ученика, сделавших одинаковое количество ошибок.
Подробнее
30 команд участвуют в первенстве по футболу. Каждые две команды должны сыграть между собой один матч. Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей.
Подробнее
Сколькими способами можно разменять один пенге? (В одном пенге 100 филлеров. В обращении находятся монеты достоинством в 1, 2, 10, 20 и 50 филлеров.).
Подробнее
На шахматной доске пометили 16 из 64 клеток, причем так, что на каждой из 8 горизонталей и каждой из 8 вертикалей оказалось по 2 помеченных клетки. Доказать, что на помеченных клетках можно расставить 8 черных и белых фигур (по одной фигуре на каждой помеченной клетке) так, чтобы на каждой горизонтали и каждой вертикали стояло по 1 белой и 1 черной фигуре.
Подробнее
Предположим, что имеется несколько предметов, каждый из которых окрашен в один из двух различных цветов (оба цвета встречаются) и имеет одну из двух форм (обе формы встречаются). Доказать, что в этом случае среди предметов можно выбрать два таких, которые отличаются и по цвету, и по форме.
Подробнее
Доказать, что в любой компании число тех, кто знаком с нечетным числом членов компании, четно.
Подробнее
Доказать, что в любой компании из шести человек всегда найдутся либо трое знакомых друг с другом, либо трое не знакомых друг с другом (Два члена $A$ и $B$ компании считаются знакомыми друг с другом, если $A$ знаком с $B$, а $B$ знаком с $A$.).
Подробнее
23 октября 1948 г. приходится на субботу. Можно ли утверждать, что Новый год чаще приходится на воскресенье, чем на понедельник?
Подробнее
В один из дней в библиотеке побывало несколько читателей, которые приходили порознь, но из любых трех читателей по крайней мере двое в тот день в библиотеке встретились. Доказать, что можно выбрать такие два момента, что любой из читателей, посетивших в тот день библиотеку, по крайней мере в один из этих моментов находился в ней.
Подробнее
Каждый из участников турнира встретился по одному разу со всеми остальными участниками, причем ни одна встреча не закончилась вничью. Доказать, что среди спортсменов найдется такой, кто назовет всех остальных участников турнира, если станет перечислять тех, кого победил он сам, и тех, кого победили побежденные им соперники.
Подробнее
Фабрика выпускает двухцветные ткани из пряжи шести различных цветов. В расцветках этих тканей каждый цвет сочетается по крайней мере с тремя другими. Доказать, что можно выбрать ткани трех различных расцветок, в которых будут представлены все шесть цветов.
Подробнее
Трое братьев в один день навестили больного друга, и в тот же день ему нанесли визит жены всех братьев. Никто из посетителей не заходил более одного раза. Каждый из трех братьев встретился в доме больного друга с двумя своими невестками. Доказать, что кто-то из братьев встретился в доме больного друга также и со своей женой.
Подробнее
Во время экскурсии выяснилось, что один из любых четырех ее участников встречался ранее с тремя остальными. Доказать, что среди любых четырех участников экскурсии всегда можно найти такого, который встречался ранее со всеми остальными экскурсантами.
Подробнее
В зрительном зале кресла расставлены в $p$ рядов и $q$ «колонн» (условимся называть так кресла, выстроенные «в затылок» одно другому). Таким образом, всего зал вмещает $pq$ зрителей ($p > 1, q > 1$).
В каждом кресле сидит один школьник, причем все ребята, находящиеся в этом зале, отличаются между собой по росту. Учитель выбирает в каждом ряду самого маленького школьника. Рост самого высокого из них оказывается равным $a$. Затем учитель выбирает самого высокого школьника в каждой «колонне». Рост самого маленького из них оказывается равным $b$.
Выяснить, каким из трех соотношений
$a < b, a = b, a >b$
могут быть связаны числа $a$ и $b$, установить, можно ли изменить это соотношение, пересаживая ребят в зрительном зале.
Подробнее