2022-11-10
Внутри окружности радиуса $n$ расположены $4n$ отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой $l$ и пересекающую не менее двух данных отрезков.
Решение:
Пусть $l_{1}$ - произвольная прямая, перпендикулярная $l$. Обозначим длины проекций $i$-го отрезка на прямые $l$ и $l_{1}$ через $a_{i}$ и $b_{i}$ соответственно. Так как длина каждого отрезка равна 1 то $a_{i} + b_{i} \geq 1$. Поэтому
$(a_{1} + \cdots + a_{4n}) + (b_{1} + \cdots + b_{4n}) \geq 4n$.
Пусть для определённости $a_{1} + \cdots + a_{4n} \geq b_{1} + \cdots + b_{4n}$. Тогда $a_{1} + \cdots + a_{4n} \geq 2n$. Все данные отрезки проецируются на отрезок длины $2n$ на прямой $l$. Если бы проекции отрезков на эту прямую не имели общих точек, то выполнялось бы неравенство $a_{1} + \cdots + a_{4n} < 2n$. Полученное противоречие доказывает, что на $l$ есть точка, в которую проецируются точки по крайней мере двух отрезков. Тогда перпендикуляр к ней в этой точке и является искомой прямой.