2022-11-10
В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Решение:
Центр круга диаметра 1, целиком помещающегося внутри прямоугольника, должен быть расположен на расстоянии, большем 1/2, от любой из сторон прямоугольника, т. е. внутри «рамки». Площадь «рамки» равна 19 $\cdot$ 24 = 456. Кроме того, центр круга должен быть расположен на расстоянии, большем 1/2, от контура любого из квадратов, т. е. вне фигурки, показанной на рисунке. Она имеет площадь $3 + \frac{ \pi}{4}$, поэтому даже если эти фигурки не пересекаются и не задевают рамку, их суммарная площадь равна $120 \left ( 3 + \frac{ \pi}{4} \right ) = 360 + 30 \pi < 360 + 30 \cdot 3,2 = 456$. Итак, этими фигурками покрыть прямоугольник площади 456 нельзя и, следовательно, найдётся круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним квадратом.