2022-11-10
В квадрате со стороной 1 отметили 101 точку, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 1/100.
Решение:
Рассмотрим наименьший выпуклый многоугольник, содержащий данные точки. Пусть он имеет $k$ вершин. Если $k = 102$, то этот 102-угольник можно разбить на 100 треугольников диагоналями, выходящими из одной вершины.
Если же $k < 102$, то внутри $k$-угольника лежит $102 - k$ точек. Соединим одну из внутренних точек с вершинами $k$-угольника. При этом получим $k$ треугольников. С остальными внутренними точками проделаем следующую операцию. Если эта точка лежит строго внутри одного из полученных ранее треугольников, то соединим её с вершинами этого треугольника. Если точка лежит на общей стороне двух треугольников, то соединим её с вершинами этих треугольников, противолежащими общей стороне. После каждой такой операции в обоих случаях число треугольников увеличивается на 2. В результате всего получится $k + 2(102 - k - 1) = 204 - k - 2$ треугольников. Так как $k < 102$, то $204 - k - 1 > 102 - 2 = 100$. Сумма площадей треугольников разбиения меньше 1, а их количество не меньше 100, поэтому площадь хотя бы одного из них не превосходит 1/100.