2022-11-10
Докажите, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.
Решение:
Докажем, что если площадь треугольника больше 1, и он расположен в круге радиуса 1, то он содержит центр круга. Поскольку площадь треугольника больше 1, а стороны не больше 2 (2 - диаметр круга), то все его высоты больше 1. Но треугольник - пересечение трёх полос, края которых параллельны сторонам, а ширина равна соответствующей высоте треугольника, а поскольку оба края каждой полосы пересекают круг и её ширина больше 1, она содержит центр круга (внутренней точкой). Тогда и треугольник содержит центр круга. Следовательно, если два треугольника с площадью, большей 1, лежат в круге, то они содержат центр круга, а стало быть, пересекаются.