За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и так далее. После того, как последний, седьмой гном разлил всем остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?
Подробнее
Имеется тысяча билетов с номерами $000, 001, \cdots, 999$ и сто ящиков с номерами $00, 01, \cdots, 99$. Билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычеркиванием одной из цифр. Докажите, что:
а) можно разложить все билеты в 50 ящиков;
б) нельзя разложить все билеты менее чем в 40 ящиков;
в) нельзя разложить все билеты менее чем в 50 ящиков;
г) Пусть билеты имеют четырехзначные номера (от 0000 до 0001) и билет разрешается опускать в ящик, номер которого можно получить из номера билета вычеркиванием каких-либо двух цифр. Докажите, что все четырехзначные билеты можно разложить в 34 ящика.
д) Какой минимальный набор ящиков потребуется для $k$-значных билетов ($k = 4, 5, 6, \cdots$)?
Подробнее
Дан квадратный лист клетчатой бумаги $100 \times 100$ клеток. Проведено несколько несамопересекающихся ломаных, идущих по сторонам клеток и не имеющих общих точек. Эти ломаные идут строго внутри квадрата, а концами выходят на его границу. Докажите, что кроме вершин квадрата найдется узел (внутри или на границе), не принадлежащий ни одной ломаной.
Подробнее
На плоскости дано 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть $M$ - множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества $M$ попала не менее чем в один и не более чем в четыре отмеченных квадрата.
Подробнее
На столе стоят чашечные весы и $n$ гирь различных масс. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берется любая гиря и добавляется на ту или другую чашку весов).
а) Докажите, что гири можно ставить в таком порядке, чтобы сначала перевесила левая чашка, затем правая, потом снова левая, снова правая и так далее.
Этой последовательности результатов взвешиваний сопоставим слово из букв $L$ и $R$: $LRLRLR \cdots$. Здесь буква $L$ обозначает, что перевесила левая чашка, а буква $R$ означает, что перевесила правая чашка.
б) Докажите, что для любого слова длины $n$ из букв $L$ и $R$ можно в таком порядке ставить гири на чашки весов, чтобы это слово соответствовало последовательности результатов взвешиваний.
Подробнее
Даны две кучки спичек. В начале в одной кучке $m$ спичек, в другой - $n$ спичек, $m > n$. Двое игроков по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берет из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное числу спичек в другой кучке. Выигрывает игрок, взявший последнюю спичку в одной из кучек.
а) Докажите, что если $m > 2n$, то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш.
б) При каких $\alpha$ верно следующее утверждение: если $m > \alpha n$, то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш?
Подробнее
В окружность радиуса $R$ вписан $n$-угольник площади $S$. На каждой стороне $n$-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр $n$-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше $2S/R$.
Подробнее
Фишка стоит в углу шахматной доски размером $n \times n$ клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.
а) Докажите, что если $n$ четно, то начинающий игру может добиться выигрыша, а если $n$ нечетно, то выигрывает второй.
б) Кто выигрывает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним?
Подробнее
Кенгуру прыгает по углу $x \geq 0, y \geq 0$ координатной плоскости $Oxy$, причем прыгать в точки, у которых одна из координат отрицательна, не разрешается. Из каких начальных точек $(x; y)$ кенгуру не может попасть в точку, находящуюся на расстоянии больше 1000 от начала координат? Нарисуйте множество всех таких точек $(x; у)$ и найдите его площадь.
Подробнее
В парламенте у каждого его члена не более трех врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у каждого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считается, что если $B$ - враг $A$, то $A$ - враг $B$.)
Подробнее
Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размером
а) $8\times 8$ клеток,
б) $n \times n$ клеток
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставятся в центры полей.)
Подробнее
Имеется несколько квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что такими квадратами всегда можно покрыть квадрат площади 1.
Подробнее
На прямой по порядку расположены точки $A_1, A_2, \cdots, A_n$ так, что длины отрезков $A_1A_2, A_2A_3, \cdots, A_{n-1}A_n$ не превосходят 1. Требуется отметить $k - 1$ из точек $A_2, \cdots, A_{n-1}$ красным цветом так, чтобы длины любых двух из $k$ частей, на которые отрезок $A_1A_n$ разбивается красными точками, отличались не более чем на 1. Докажите, что это всегда можно сделать:
а) для $k = 3$;
б) для каждого натурального $k < n - 1$.
Подробнее
На берегу большого круглого озера расположено несколько населенных пунктов. Между некоторыми из них установлено теплоходное сообщение. Известно, что два пункта связаны рейсом тогда и только тогда, когда два следующих за ними против часовой стрелки пункта рейсом не связаны. Докажите, что из любого пункта в любой другой пункт можно добраться теплоходом, причем не более чем с двумя пересадками.
Подробнее
Две одинаковые шахматные доски ($8 \times 8$ клеток) имеют общий центр, причем одна из них повернута относительно другой на $45^{\circ}$ около центра. Найдите суммарную площадь всех пересечений черных клеток этих двух досок, если площадь одной клетки равна 1.
Подробнее