Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды $SABCD$ в точках, лежащих на рёбрах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Известно, что высота пирамиды равна $2\sqrt{5}$, $AB=6$, $SA=5$, $SB=7$, $SC=2\sqrt{10}$. Найдите длины рёбер $BC$ и $CD$, радиус сферы и двугранный угол при ребре $SD$.
Подробнее
Сторона основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ равна 6, двугранный угол между боковыми гранями равен $\arccos\frac{7}{32}$. Точки $A_{1}$ и $B_{1}$ - середины рёбер $AD$ и $BD$ соответственно, $BC_{1}$ - высота в треугольнике $DBC$. Найдите:
1) угол между прямыми $AB$ и $B_{1}C_{1}$;
2) площадь треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$;
3) расстояние от точки $B$ до плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$;
4) радиус вписанного в пирамиду $A_{1}B_{1}C_{1}D$ шара.
Подробнее
В основании призмы $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ лежит прямоугольник $ABCD$. Острые углы $D_{1}DA$ и $D_{1}DC$ равны между собой, угол между ребром $DD_{1}$ и плоскостью основания призмы равен $\arccos\frac{1}{\sqrt{13}}$, а $CD=5\sqrt{6}$. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найдите $BC$ и угол между плоскостями $D_{1}DC$ и $ABC$, а также расстояние от точки $D$ до центра сферы.
Подробнее
В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, ребро которого равно 6, точки $M$ и $N$ - середины рёбер $AB$ и $B_{1}C_{1}$ соответственно, а точка $K$ расположена на ребре $DC$ так, что $DK=2\cdot KC$. Найдите
1) расстояние от точки $N$ до прямой $AK$;
2) расстояние между прямыми $MN$ и $AK$;
3) расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости треугольника $MNK$.
Подробнее
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $a$. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник $ACD$, а вершиной конуса является точка $O$, лежащая на высоте $BE$ треугольника $ABC$, причём $BE:OB=3$. Найдите радиус основания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трёх граней пирамиды с общей точкой $B$.
Подробнее
Высота конуса с вершиной $O$ равна 4, образующая конуса равна 5. Пирамида $ABCD$ вписана в конус так, что точки $A$ и $C$ принадлежат окружности основания, точки $B$ и $D$ принадлежат боковой поверхности, причём точка $B$ принадлежит образующей $OA$. Треугольники $OAC$ и $OBD$ - равносторонние, причём $OB=3$. Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре $AB$ и радиус сферы, описанной около пирамиды $ABCD$.
Подробнее
Сторона основания $ABC$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ равна 6, а высота равна $\frac{3}{\sqrt{7}}$. На рёбрах $AC$, $A_{1}C_{1}$ и $BB_1$ расположены соответственно точки $P$, $F$ и $K$ так, что $AP=1$, $A_{1}F=3$ и $BK=KB_{1}$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $P$, $F$ и $K$. Найдите площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения.
Подробнее
Две противоположные боковые грани четырёхугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна $\sqrt{5}$. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ ($AD=BC$), описанная около окружности и такая, что $AB=6$, $\angle BAD=\frac{\pi}{3}$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найдите объём конуса.
Подробнее
В основании прямой призмы $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ лежит ромб $ABCD$ с углом $BAD$, равным $2\arccos\frac{1}{3}$. Сфера касается всех звеньев ломаной $ABCC_{1}A_{1}$ и пересекает ребро $BB_{1}$ в точках $B_{1}$ и $M$. Найдите объём призмы и радиус сферы, если $B_{1}M=1$.
Подробнее
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ ребро $AB$ вдвое больше высоты пирамиды. По одну сторону от плоскости грани $ABCD$ расположен цилиндр, окружность основания которого проходит через центр этой грани. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости $SCD$ и $SBC$ - прямоугольники с общей вершиной в точке $C$. Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
Подробнее
Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении $2:6:1$, считая от центра одного из оснований. Найдите объём цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии $2\sqrt{6}$ друг от друга.
Подробнее
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ ($S$ - вершина) $AB=3\sqrt{2}$, высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку $A$, а другая - через точки $B$ и $D$, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро $SC$ плоскости сечений? Найдите расстояние между плоскостями сечений и объёмы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.
Подробнее
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ боковое ребро равно $\sqrt{14}$, сторона основания $ABCD$ призмы равна 6. Окружность основания конуса вписана в треугольник $BC_{1}D$, а вершина конуса лежит в плоскости $ABC_{1}$. Найдите объём конуса.
Подробнее
На ребре $AC$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ взята точка $K$ так, что $AK=\frac{1}{4}$, $CK=\frac{3}{4}$. Через точку $K$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $arctg\frac{7}{6}$ и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найдите объём призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого - нет.
Подробнее
Внутри цилиндра лежат два шара радиуса $r$ и один шар радиуса $\frac{3r}{2}$ так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности цилиндра, причём первые два равных шара касаются нижнего основания, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найдите радиус основания цилиндра, если его высота равна $4r$.
Подробнее
