Два правильных тетраэдра $ABCD$ и $ABCE$ имеют общее основание $ABC$ и расположены по разные стороны от него. Точки $M$ и $N$ - середины рёбер $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите угол между прямыми:
а) $AD$ и $BE$; б) $DM$ и $EN$.
Подробнее
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ равна $4\sqrt{3}$, боковое ребро равно $8\sqrt{3}$. Найдите объём меньшей из частей, на которые разбивает призму плоскость, проходящая через середины рёбер $AC$, $BC$ и центр грани $AA_{1}B_{1}B$.
Подробнее
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ равны $\sqrt{3}$. Найдите объём большей из частей, на которые разбивает призму плоскость, проходящая через ребро $B_{1}C_{1}$ и центр основания $ABC$.
Подробнее
Докажите, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны соответственно $h_{1}$, $h_{2}$, $h_{3}$, то объём тетраэдра не меньше $\frac{1}{3}h_{1}h_{2}h_{3}$.
Подробнее
В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA_{1}$ равно 3. На ребре $B_{1}C_{1}$ отмечена точка $L$ так, что $B_{1}L=1$. Точки $K$ и $M$ - середины рёбер $AB$ и $A_{1}C_{1}$ соответственно. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\gamma$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой - точка $M$, а основание - сечение данной призмы плоскостью $\gamma$.
Подробнее
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ сторона основания $AB$ равна 16, а высота равна 4. На рёбрах $AB$, $CD$ и $AS$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM=DN=4$ и $AK=3$.
а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $SBC$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $SBC$.
Подробнее
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 12, а высота равна 1. На рёбрах $AB$, $AC$ и $AS$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM=AN=3$ и $AK=\frac{7}{4}$.
а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $SBC$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $SBC$.
Подробнее
В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA_{1}$ равно $2\sqrt{2}$. На рёбрах $AB$, $A_{1}B_{1}$ и $B_{1}C_{1}$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM=B_{1}N=C_{1}K=2$.
а) Пусть $L$ - точка пересечения плоскости $MNK$ с ребром $AC$. Докажите, что $MNKL$ - квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MNK$.
Подробнее
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA_{1}$ равно $4\sqrt{3}$. На рёбрах $AB$, $A_{1}D_{1}$ и $C_{1}D_{1}$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM=A_{1}N=C_{1}K=1$.
а) Пусть $L$ - точка пересечения плоскости $MNK$ с ребром $BC$. Докажите, что $MNKL$ - квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MNK$.
Подробнее
В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ сторона основания $AB$ равна 12, а боковое ребро $AA_{1}$ равно $3\sqrt{6}$. На рёбрах $AB$ и $B_{1}C_{1}$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $AK=2$, $B_{1}L=4$. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$, точка $M$ - середина ребра $A_{1}C_{1}$.
а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\gamma$.
б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\gamma$.
Подробнее
Решить уравнение
$\sqrt[3]{(x-29)^{2}} + \sqrt[3]{(x-1)^{2}} = 7 - \sqrt[3]{x^{2} - 30x + 29}$. (1)
Подробнее
Решить уравнение
$\frac{2x}{2x^{2} - 5x + 3} + \frac{13x}{2x^{2} + x +3 } = 6$. (1)
Подробнее
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известны длины рёбер: $AB=4$, $BC=3$, $AA_{1}=2$. Точки $P$ и $Q$ - середины рёбер $A_{1}B_{1}$ и $CC_{1}$ соответственно. Плоскость $APQ$ пересекает ребро $B_{1}C_{1}$ в точке $U$.
а) Докажите, что $B_{1}U:OC_{1}=2:1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ плоскостью $APQ$.
Подробнее
В основании прямой треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ лежит прямоугольный треугольник с прямым углом $C$, $AC=4$, $BC=16$, $AA_{1}=4\sqrt{2}$. Точка $Q$ - середина ребра $A_{1}B_{1}$, а точка $P$ делит ребро $B_{1}C_{1}$ в отношении $1:2$, считая от вершины $C_{1}$. Плоскость $APQ$ пересекает ребро $CC_{1}$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $CC_{1}$.
б) Найдите расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости $APQ$.
Подробнее
На рёбрах $CD$ и $BB_{1}$ куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром 12 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP=4$, а $B_{1}Q=3$. Плоскость $APQ$ пересекает ребро $CC_{1}$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $CC_{1}$.
б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $APQ$.
Подробнее
