Доказать, что в любой группе из шести школьников всегда имеется либо трое школьников, которые все знакомы друг с другом, либо трое школьников, каждый из которых не знаком с двумя другими.
Подробнее
В некоторой стране между любыми двумя городами имеется непосредственное железнодорожное сообщение, но только в одном направлении. Доказать, что существует такой город, в который из любого другого города можно попасть, проезжая не более чем через один промежуточный город.
Подробнее
Докажите, что при игре в крестики - нулики второй игрок, как бы хорошо он ни играл, не может рассчитывать больше чем на ничью, если его партнер играет правильно.
Подробнее
Пусть игра ведется на листе клетчатой бумаги (обычного школьного формата) до четырех знаков подряд. Докажите, что при правильной стратегии крестики выигрывают не более чем за шесть ходов.
Подробнее
Пусть игра ведется до трех знаков подряд. Какое наименьшее число клеток должна содержать доска, чтобы начинающий мог выиграть, как бы ни играл его противник? [Нарисовать доску (произвольной формы) с минимальным количеством клеток и доказать, что на любой доске с меньшим числом клеток второй игрок может избежать поражения.]
Подробнее
В стране Лемниската объявлен конкурс на типовой проект квартиры, предназначенной для заселения одной, двумя, тремя или четырьмя семьями. Требуется, чтобы число комнат в квартире было наименьшим и чтобы во всех случаях жилплощадь можно было поделить поровну между вселяемыми семьями. Представьте ваши предложения относительно числа и размера комнат.
Подробнее
Двое играют на листе клетчатой бумаги по следующим правилам. Первый проводит отрезок, совпадающий со стороной клетки. Второй продолжает эту линию, проводя из конца первого отрезка свой отрезок, также совпадающий со стороной какой-то клетки. Затем очередь хода попадает к первому и т. д. В результате (рис.) получается некоторая ломаная, идущая по линиям сетки. Ломаная может пересекать сама себя, но не может идти два раза по одной и той же стороне клетки. Если ломаная достигает границы листа, игра объявляется ничьей. Если какой-то игрок, находясь во внутренней точке, при своем ходе не может продолжать линию, то он проиграл (рис.). Доказать, что второй игрок не может проиграть, как бы ни велась игра.
Подробнее
У князя Гвидона было трое сыновей. Среди его потомков 93 имели каждый по двое сыновей и ни одной дочери, а все прочие умерли бездетными. Сколько всего потомков было у князя Гвидона?
Подробнее
Шириной прямоугольника называется длина наименьшей из его сторон (Ширина квадрата - длина любой из его сторон). Сколькими различными способами можно вырезать из квадратного листа бумаги, состоящего из 100 клеток, прямоугольник ширины 3? (Разрезы должны идти только по границе клеток)
Подробнее
Плитка шоколада состоит из 5 х 8 квадратных долек. Плитка разламывается по прямым, разделяющим дольки, до тех пор, пока не получится 40 отдельных долек. Сколько раз придется ломать плитку? (Найти все решения.)
Подробнее
В городе Лиссе 10 000 телефонов, номера которых задаются четырехзначными числами. В центральном районе установлено более половины всех телефонов. Доказать, что хотя бы один из номеров центральных телефонов равен сумме двух номеров других центральных телефонов (или удвоенному номеру такого телефона).
Подробнее
Докажите, что среди любых девяти последовательных натуральных чисел найдется по крайней мере одно число, взаимно простое с каждым из остальных.
Подробнее
Все целые числа от 1 до 10 включительно расположили в произвольном порядке и затем каждое сложили с номером места, на котором оно стоит. Доказать, что хотя бы у двух из полученных сумм стоит на конце одна и та же цифра.
Подробнее
Выписываются числа 1, 2, 3, $\cdots$ , 1000 000 000. Затем каждое из чисел заменяется суммой его цифр и т. д. до тех пор, пока в ряду не будут только однозначные числа. Каких цифр в этом ряду больше: единиц или пятерок?
Подробнее
На доске было написано пять целых чисел. Сложив их попарно, получили следующие десять чисел:
0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15.
Какие пять чисел были написаны на доске? Можно ли таким способом получить следующие десять чисел:
12, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 20?
Подробнее
