Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10074
2022-12-06 
Пусть игра ведется до трех знаков подряд. Какое наименьшее число клеток должна содержать доска, чтобы начинающий мог выиграть, как бы ни играл его противник? [Нарисовать доску (произвольной формы) с минимальным количеством клеток и доказать, что на любой доске с меньшим числом клеток второй игрок может избежать поражения.]
Решение:
На доске из семи клеток, показанной на рис. а, начинающий может выиграть, как бы ни играл его противник: сначала он ставит крестик на пересечении рядов, а затем на одну из средних клеток в ряду, на котором нет нуля.
При любом ходе противника начинающий может выиграть на третьем ходу. Если доска состоит не более чем из шести клеток, то второй участник всегда может предотвратить победу первого. Докажем это.
Будем называть тройкой три рядом стоящие клетки. На рис. б имеется четыре тройки: (1, 2, 3); (2, 3, 4); (3, 4, 5) и (4, 5, 6), а на рис. д три тройки: (1,2,3); (3, 5, 6) и (1, 4, 6).
Чтобы предотвратить победу начинающего, второму участнику достаточно поставить по одному нулику на каждую тройку. Если имеется не более двух троек, то второй участник может двумя ходами «перекрыть» их.
Предположим, что имеется более двух троек. Если рядом стоит пять или шесть клеток, то все тройки находятся в этом ряду (рис. б и в). Поставив нулик на третью или четвертую от края клетку, второй участник оставляет только одну неперекрытую тройку. Вторым ходом он может перекрыть и эту тройку. Если имеется четыре рядом стоящие клетки, то существует самое большее одна тройка, не стоящая в этом ряду (рис. 16,г). Заняв одну из двух средних клеток ряда длины 4, второй участник перекрывает обе тройки, стоящие в этом ряду.
Остается рассмотреть случай, когда никакие четыре клетки не стоят в ряд (легко видеть, что при этом шесть клеток могут содержать не более трех троек). Если имеются три тройки, то каждые две из них должны иметь общую клетку (рис. д) и есть три такие клетки, в которых пересекаются по две тройки. Поставив нулик на одну из этих клеток, второй участник первым же ходом перекроет, две из трех троек; третью он перекроет вторым своим ходом.
Пусть игра ведется до трех знаков подряд. Какое наименьшее число клеток должна содержать доска, чтобы начинающий мог выиграть, как бы ни играл его противник? [Нарисовать доску (произвольной формы) с минимальным количеством клеток и доказать, что на любой доске с меньшим числом клеток второй игрок может избежать поражения.]
Решение:
На доске из семи клеток, показанной на рис. а, начинающий может выиграть, как бы ни играл его противник: сначала он ставит крестик на пересечении рядов, а затем на одну из средних клеток в ряду, на котором нет нуля.
При любом ходе противника начинающий может выиграть на третьем ходу. Если доска состоит не более чем из шести клеток, то второй участник всегда может предотвратить победу первого. Докажем это.
Будем называть тройкой три рядом стоящие клетки. На рис. б имеется четыре тройки: (1, 2, 3); (2, 3, 4); (3, 4, 5) и (4, 5, 6), а на рис. д три тройки: (1,2,3); (3, 5, 6) и (1, 4, 6).
Чтобы предотвратить победу начинающего, второму участнику достаточно поставить по одному нулику на каждую тройку. Если имеется не более двух троек, то второй участник может двумя ходами «перекрыть» их.
Предположим, что имеется более двух троек. Если рядом стоит пять или шесть клеток, то все тройки находятся в этом ряду (рис. б и в). Поставив нулик на третью или четвертую от края клетку, второй участник оставляет только одну неперекрытую тройку. Вторым ходом он может перекрыть и эту тройку. Если имеется четыре рядом стоящие клетки, то существует самое большее одна тройка, не стоящая в этом ряду (рис. 16,г). Заняв одну из двух средних клеток ряда длины 4, второй участник перекрывает обе тройки, стоящие в этом ряду.
Остается рассмотреть случай, когда никакие четыре клетки не стоят в ряд (легко видеть, что при этом шесть клеток могут содержать не более трех троек). Если имеются три тройки, то каждые две из них должны иметь общую клетку (рис. д) и есть три такие клетки, в которых пересекаются по две тройки. Поставив нулик на одну из этих клеток, второй участник первым же ходом перекроет, две из трех троек; третью он перекроет вторым своим ходом.
