Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10082
2022-12-06 
Шириной прямоугольника называется длина наименьшей из его сторон (Ширина квадрата - длина любой из его сторон). Сколькими различными способами можно вырезать из квадратного листа бумаги, состоящего из 100 клеток, прямоугольник ширины 3? (Разрезы должны идти только по границе клеток)
Решение:
Назовем длиной прямоугольника длину большей его стороны (длина квадрата равна его ширине). Подсчитаем число различных прямоугольников длины $L$, где $l = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Такие прямоугольники бывают горизонтальными и вертикальными, соответственно тому, горизонтальна или вертикальна их большая сторона. Вертикальных прямоугольников размером $3 \times l$ существует столько, сколько различных положений может занимать внутри исходного квадрата правая верхняя клетка такого прямоугольника, т. е. $8(11 - l)$ (рис., на котором крестиками отмечены положения, которые может занимать верхняя правая клетка, если $l = 5$).
Столько же существует и горизонтальных прямоугольников $3 \times l$, так что общее число таких прямоугольников равно $16(11- l)$. Точно так же находим и число различных квадратов $3 \times 3$; оно равно $8^{2}$. Общее число прямоугольников ширины 3 равно
$16(11 - 4) + 16(11-5) + \cdots + 16(11 - 10) + 8^{2} = 16(1 + 2 + \cdots + 7) + 8^{2} = 16 \frac{7 \cdot 8}{2} + 8^{2} = 8^{2} \cdot 8 = 8^{3}$.
Шириной прямоугольника называется длина наименьшей из его сторон (Ширина квадрата - длина любой из его сторон). Сколькими различными способами можно вырезать из квадратного листа бумаги, состоящего из 100 клеток, прямоугольник ширины 3? (Разрезы должны идти только по границе клеток)
Решение:
Назовем длиной прямоугольника длину большей его стороны (длина квадрата равна его ширине). Подсчитаем число различных прямоугольников длины $L$, где $l = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Такие прямоугольники бывают горизонтальными и вертикальными, соответственно тому, горизонтальна или вертикальна их большая сторона. Вертикальных прямоугольников размером $3 \times l$ существует столько, сколько различных положений может занимать внутри исходного квадрата правая верхняя клетка такого прямоугольника, т. е. $8(11 - l)$ (рис., на котором крестиками отмечены положения, которые может занимать верхняя правая клетка, если $l = 5$).
Столько же существует и горизонтальных прямоугольников $3 \times l$, так что общее число таких прямоугольников равно $16(11- l)$. Точно так же находим и число различных квадратов $3 \times 3$; оно равно $8^{2}$. Общее число прямоугольников ширины 3 равно
$16(11 - 4) + 16(11-5) + \cdots + 16(11 - 10) + 8^{2} = 16(1 + 2 + \cdots + 7) + 8^{2} = 16 \frac{7 \cdot 8}{2} + 8^{2} = 8^{2} \cdot 8 = 8^{3}$.
