Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10076
2022-12-06 
Двое играют на листе клетчатой бумаги по следующим правилам. Первый проводит отрезок, совпадающий со стороной клетки. Второй продолжает эту линию, проводя из конца первого отрезка свой отрезок, также совпадающий со стороной какой-то клетки. Затем очередь хода попадает к первому и т. д. В результате (рис.) получается некоторая ломаная, идущая по линиям сетки. Ломаная может пересекать сама себя, но не может идти два раза по одной и той же стороне клетки. Если ломаная достигает границы листа, игра объявляется ничьей. Если какой-то игрок, находясь во внутренней точке, при своем ходе не может продолжать линию, то он проиграл (рис.). Доказать, что второй игрок не может проиграть, как бы ни велась игра.
Решение:
Допустим, что игра закончилась результативно, на $N$-м ходе какой-тоигрок проиграл. Тогда перед ($n - 1$)-м ходом была такая ситуация (рис. а): игрок, который делал ($n - 1$)-й ход, провел отрезок ОА, после чего все отрезки, выходящие из точки О, оказались занятыми. Точка О может быть только начальной точкой игры. В самом деле, если внутренняя точка О не является начальной, то перед попаданием в нее могут быть заняты либо два входящих в О отрезка, либо ни одного (см. рис. в). Но ломаная, выходящая из какой-то точки и возвращающаяся в нее, обязана иметь четное число звеньев. (Действительно, число шагов вверх должно равняться числу шагов вниз, а число шагов влево - числу шагов вправо.) Поэтому номер последнего хода четный и этот ход сделал второй игрок
Двое играют на листе клетчатой бумаги по следующим правилам. Первый проводит отрезок, совпадающий со стороной клетки. Второй продолжает эту линию, проводя из конца первого отрезка свой отрезок, также совпадающий со стороной какой-то клетки. Затем очередь хода попадает к первому и т. д. В результате (рис.) получается некоторая ломаная, идущая по линиям сетки. Ломаная может пересекать сама себя, но не может идти два раза по одной и той же стороне клетки. Если ломаная достигает границы листа, игра объявляется ничьей. Если какой-то игрок, находясь во внутренней точке, при своем ходе не может продолжать линию, то он проиграл (рис.). Доказать, что второй игрок не может проиграть, как бы ни велась игра.
Решение:
Допустим, что игра закончилась результативно, на $N$-м ходе какой-тоигрок проиграл. Тогда перед ($n - 1$)-м ходом была такая ситуация (рис. а): игрок, который делал ($n - 1$)-й ход, провел отрезок ОА, после чего все отрезки, выходящие из точки О, оказались занятыми. Точка О может быть только начальной точкой игры. В самом деле, если внутренняя точка О не является начальной, то перед попаданием в нее могут быть заняты либо два входящих в О отрезка, либо ни одного (см. рис. в). Но ломаная, выходящая из какой-то точки и возвращающаяся в нее, обязана иметь четное число звеньев. (Действительно, число шагов вверх должно равняться числу шагов вниз, а число шагов влево - числу шагов вправо.) Поэтому номер последнего хода четный и этот ход сделал второй игрок
