Требуется распилить деревянный куб с ребром 4 см на 64 кубика c ребром 1 cм. Это легко сделать девятью распилами, если не сдвигать распиленные части друг относительно друга. А каким наименьшим числом распилов можно обойтись, сели разрешить перемещать распиленные части?
Подробнее
Разрежьте правильный треугольник на 111 правильных треугольников.
Подробнее
На одну чашу весов можно класть гири, а на другую - грузы. Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы можно было уравновесить любые грузы целого веса от 1 до 100 грамм?
Подробнее
Приведите пример прямоугольника, который можно разрезать на нескольких подобных между собой непрямоугольных треугольников. Среди подобных треугольников могут быть и равные.
Подробнее
На обе чашы весов можно класть гири, а груз можно класть только на одну чашу. Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы можно было уравновесить любой груз целого веса от 1 до 100 грамм?
Подробнее
Найдите все такие натуральные $n$, для которых правильный треугольник нельзя разрезать на $n$ правильных треугольников.
Подробнее
Путешественник посетил деревню, каждый житель которой либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Жители деревни стали в круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей составляют лжецы. Докажите, что число жителей в деревне четно.
Подробнее
Три лошади бегают по кругу в одном направлении. Первая пробегает круг за 105 минут, вторая - за 56 минут, третья - за 31 минуту и 30 секунд. Через какое время после старта все они впервые поравняются, если выбегут одновременно?
Подробнее
В разные места палки длиной 1 метр посадили 2004 божьих коровки. Каждая коровка всегда бежит либо в одну, либо в другую сторону со скоростью 1 см/сек. Если две коровки сталкиваются, то они отскакивают и бегут в противоположные стороны. Если коровка добегает до конца палки, то она улетает.
1) за какое наименьшее время все коровки заведомо улетят?
2) Пусть в начале было N коровок, каково максимально возможное число столкновений коровок может произойти?
Подробнее
В классе поровну мальчиков и девочек. Каждый мальчик дружит с четным числом девочек. Докажите, что можно выбрать группу из нескольких мальчиков (не менее одного) так, чтобы с каждой девочкой дружило четное число мальчиков из этой группы.
Подробнее
Некоторое количество аборигенов заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число аборигенов быть нечётным?
Подробнее
В школьном кабинете химии имеются три банки с серной кислотой ёмкостью 1, 2 и 3 литра. Концентрация кислоты в этих банках неизвестна (скорее всего, она различна, но в точности этого никто не знает). Требуется перелить кислоту в три пустые банки такой же ёмкости, но так, чтобы концентрация кислоты во всех банках была одинакова. Как это сделать, если никаких других ёмкостей нет?
Подробнее
Докажите, что если неизвестно, легче или тяжелее настоящей фальшивая монета, то для её выделения из 13 монет недостаточно трёх взвешиваний.
Подробнее
Среди семи монет имеются две фальшивые (более лёгкие) монеты. Какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь понадобится, чтобы выделить обе фальшивые монеты?
Подробнее
Перед Вами лежат шесть монет, две из которых фальшивые (фальшивая монета тяжелее настоящей на 0,1 г). Кроме того, у Вас есть чашечные весы без гирь. Весы эти, правда, не очень чувствительные и реагируют на разность грузов не менее 0,2 г. Попробуйте за четыре взвешивания найти обе фальшивые монеты.
Подробнее