Доказать, что ни при каком натуральном $n$ число $n^{2} + 1$ не делится на 3.
Подробнее
Доказать, что число $3^{105} + 4^{105}$ делится на 13.
Подробнее
Сумма трех целых чисел делится на 6. Доказать, что и сумма кубов этих чисел делится на 6.
Подробнее
Доказать, что $p^{2} - q^{2}$ делится на 24, если $p$ и $q$ - простые числа, больше 3.
Подробнее
Доказать, что по крайней мере одно из двух чисел $m + n, m - n$, где $m$ и $n$ - натуральные числа, кратно трем.
Подробнее
Если $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n - 2)(n + 1) + 1$ делится на $n$, то $n$ - простое число. Доказать это.
Подробнее
Доказать, что $24^{1995} + 14^{1995}$ делится на 19.
Подробнее
Доказать, что $25^{123456789} + 1$ делится на 601.
Подробнее
Доказать, что ни одно из чисел 1, 11, 111, .., кроме первого, не есть квадратом целого числа.
Подробнее
Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.
Подробнее
Если $x$ и $y$ - целые, взаимно простые числа, то наибольший общий делитель чисел $x - y$ и
$x^{n-1} + x^{n-2} \cdot y + x^{n-3} \cdot y^{2} + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1}$
есть делитель числа $n$. Доказать.
Подробнее
$2^{p} - 1$ и $2^{q} - 1$ взаимно просты. Доказать, что $p$ и $q$ - так же взаимно просты. Обратно, если $p$ и $q$ - взаимно просты, то и $2^{p} - 1$ и $2^{q} - 1$ взаимно просты.
Подробнее
Натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Доказать, что наибольший общий делитель чисел $a + b$ и $a^{2} + b^{2}$ равен 1 или 2.
Подробнее
Доказать, что многочлены
$a^{5} + 4a^{3} + 3a$ и $a^{4} + 3a^{2} + 1$
не имеют общих делителей ни при каком целом $a$.
Подробнее
Найти два числа, зная их разность 66 и общее наименьшее кратное 360.
Подробнее
