Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13159
2023-07-09 
Доказать, что число $3^{105} + 4^{105}$ делится на 13.
Решение:
Замечая, что $105 = 3 \cdot 35$ представим заданное число в виде: $3^{105} + 4^{105} = (3^{3})^{35} + (4^{3})^{35} = 27^{35} + 64^{35}$.
Для нечетных чисел $n$ справедливо равенство:
$a^{n} + b^{n} = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + b^{n-1})$.
Запишем нашу сумму в виде:
$3^{105} + 4^{105} = 27^{35} + 64^{35} = 91 (27^{34} - \cdots + 64^{34})$.
Поскольку $91 = 13 \cdot 7$, то наша сумма делится на 13.
Доказать, что число $3^{105} + 4^{105}$ делится на 13.
Решение:
Замечая, что $105 = 3 \cdot 35$ представим заданное число в виде: $3^{105} + 4^{105} = (3^{3})^{35} + (4^{3})^{35} = 27^{35} + 64^{35}$.
Для нечетных чисел $n$ справедливо равенство:
$a^{n} + b^{n} = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + b^{n-1})$.
Запишем нашу сумму в виде:
$3^{105} + 4^{105} = 27^{35} + 64^{35} = 91 (27^{34} - \cdots + 64^{34})$.
Поскольку $91 = 13 \cdot 7$, то наша сумма делится на 13.
